Абсолютная величина
Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа (в
В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
Обобщением этого понятия является
Основные свойства
С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы[2].
Вещественные числа
- Область определения:
- Область значений:
- Функция чётная.
- Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.
Комплексные числа
- Область определения: вся комплексная плоскость.
- Область значений:
- Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Риманане выполнены.
Алгебраические свойства
Для любых вещественных чисел имеют место следующие соотношения:
- (sgn — функция знака);
- квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:
Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:
- модуль любого числа равен либо больше нуля: , причём тогда и только тогда, когда
- модули противоположных чисел равны:
- модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей:
- в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:
- модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел:
- (неравенство треугольника);
- если существует.
История
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
В языках программирования
Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью
Обобщение
Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
См. также
- Модуль комплексного числа
- Модуль вектора
- Норма вектора
- Нормирование
- Нормированное векторное пространство
Примечания
- Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивировано13 ноября 2013 года.
- ↑ Определение медианы как числа (точки), минимизирующего сумму расстояний до некоторого набора .