Построим на его нижнем ребре канторово множество и обозначим через множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через все остальные точки из .
Пусть это отрезок прямой, соединяющий точку с точкой
В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество , где
Обоснование
Покажем, что введённое множество связно.
Предположим, что это не так, то есть существуют множества и такие, что и при этом .
Для определённости будем считать, что .
Обозначим за точку из , с -координатой равной точной верхней грани -координат всех точек, входящих в .
Если же пусто, будем считать, что .
Очевидно, что не может принадлежать , так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для так и для , что противоречит предположению несвязности.
То есть, или .
Пусть — все рациональные числа отрезка , обозначим:
Тогда , то есть .
Заметим, что нигде не плотны в , иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с лежало бы в , но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из в то время как .
Множество является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество также второй категории.
Но первой категории ( счётно, а является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве обязаны лежать точки из ; то есть плотно в .
Теперь допустим, что .
В силу плотности в , любое открытое множество, содержащее , содержит также и некоторый сегмент отрезка для какого-то .
По определению множества имеем , это значит, что .
Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества ошибочно.
Осталось показать, что удаление точки делает вполне несвязным.
Предположим, что связно.
Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое).
Однако множество вполне несвязно, значит, и вполне несвязно.
Примечания
↑Knaster B., Kuratowski C.. Sur les ensembles connexes, Fund. Math., 2 (1921) pp. 206—255.
Литература
Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.