Вириал

Вириал для множества ${\displaystyle N}$ точечных частиц в механике определяется как скалярная функция:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ — пространственные векторы

и сил для ${\displaystyle k}$-й частицы.

Выражение «вириал» происходит от латинских слов «vis», «viris» — «сила» или «энергия». Оно было введено

.

Для стабильной системы, связанной потенциальными силами, справедлива теорема о вириале^[1]:

${\displaystyle 2\langle T\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$

где ${\displaystyle \langle T\rangle }$ представляет среднюю полную кинетическую энергию и ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ — сила, действующая на ${\displaystyle k}$-ю частицу.

В частном случае, когда соответствующая силе потенциальная энергия взаимодействия ${\displaystyle V(r)}$ пропорциональна ${\displaystyle n}$-й степени расстояния между частицами ${\displaystyle r}$, вириальная теорема принимает простую форму

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .}$

Другими словами, удвоенная средняя полная кинетическая энергия ${\displaystyle T}$ равна ${\displaystyle n}$-кратной средней полной потенциальной энергии ${\displaystyle U}$.

Значение теоремы о вириале состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, недоступных для точного решения, которые рассматривает, например,

.

Производная по времени и усреднение

С вириалом тесно связана другая скалярная функция:

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},}$

где ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ есть импульс ${\displaystyle k}$-й частицы.

Производную по времени от функции ${\displaystyle G}$ можно записать так:

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$

или в более простой форме

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$

Здесь ${\displaystyle m_{k}}$ масса ${\displaystyle k}$-й частицы, ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$ — полная сила, действующая на частицу, а ${\displaystyle T}$ — полная кинетическая энергия системы

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$

Усреднение этой производной за время ${\displaystyle \tau }$ определяется следующим образом:

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$

откуда мы получим точное решение

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.}$

Вириальная теорема утверждает:

Если ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$, то

${\displaystyle 2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.}$

Имеется несколько причин того, почему усреднение производной по времени исчезает, то есть ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$. Одна часто цитируемая причина апеллирует к связанным системам, то есть системам, которые остаются ограниченными в пространстве. В этом случае функция ${\displaystyle G^{\mathrm {bound} }}$ обычно ограничена двумя пределами, ${\displaystyle G_{\min }}$ и ${\displaystyle G_{\max }}$, и среднее стремится к нулю в пределе очень долгих времен ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$

Данный вывод справедлив лишь для тех систем, в которых функция ${\displaystyle G}$ зависит только от времени и не зависит существенно от координат. Если среднее значение производной по времени ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0}$, вириальная теорема имеет ту же степень приближения.

Полная сила ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$, действующая на частицу ${\displaystyle k}$, есть сумма всех сил действующих со стороны других частиц ${\displaystyle j}$ в системе

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk},}$

где ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}}$ — сила, действующая на частицу ${\displaystyle j}$ со стороны частицы ${\displaystyle k}$. Отсюда, слагаемое в производной по времени от функции ${\displaystyle G}$, содержащее силу, можно переписать в виде:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$

Поскольку отсутствует самодействие (то есть ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=0}$, где ${\displaystyle j=k}$), мы получим:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}),}$^[2]

где мы предположим, что выполняется третий закон Ньютона, то есть ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$ (равны по модулю и противоположны по направлению).

Часто случается, что силы могут быть получены из потенциальной энергии ${\displaystyle V}$, которая является функцией только расстояния ${\displaystyle r_{jk}}$ между точечными частицами ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle k}$. Поскольку сила — это градиент потенциальной энергии с обратным знаком, мы имеем в этом случае

${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},}$

который равен по модулю и противоположен по направлению вектору ${\displaystyle \mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V}$ — силе, которая действует со стороны частицы ${\displaystyle k}$ на частицу ${\displaystyle j}$, как можно показать простыми вычислениями. Отсюда силовое слагаемое в производной от функции ${\displaystyle G}$ по времени равно

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.}$

Часто оказывается, что потенциальная энергия ${\displaystyle V}$ имеет вид степенной функции

${\displaystyle V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},}$

где коэффициент ${\displaystyle \alpha }$ и показатель ${\displaystyle n}$ — константы. В таком случае, силовое слагаемое в производной от функции ${\displaystyle G}$ по времени задаётся следующими уравнениями

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU,}$

где ${\displaystyle U}$ — полная потенциальная энергия системы:

${\displaystyle U=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).}$

В тех случаях, когда среднее от производной по времени ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$, выполняется уравнение

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}$

Обычно приводимый пример —

, для которого ${\displaystyle n=-1}$. В том случае, средняя кинетическая энергия — половина средней отрицательной потенциальной энергии

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}$

Этот результат является замечательно полезным для сложных гравитационных систем, типа солнечная система или галактика, и выполняется ещё для электростатической системы, для которой ${\displaystyle n=-1}$ также.

Хотя это выражение получено для классической механики, вириальная теорема верна и для квантовой механики.

Вириальную теорему можно обобщить на случай электрических и магнитных полей. Результат:^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$

где ${\displaystyle I}$ — момент инерции, ${\displaystyle P}$ —

, ${\displaystyle T}$ — кинетическая энергия «жидкости», ${\displaystyle U}$ — случайная тепловая энергия частиц, ${\displaystyle W^{E}}$ и ${\displaystyle W^{M}}$ — энергия электрического и магнитного поля в рассматриваемом объёме системы, ${\displaystyle p_{ik}}$ — тензор давления жидкости, выраженный в локальной движущейся системе координат, сопутствующей жидкости:

${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }}$

и ${\displaystyle T_{ik}}$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля:

${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$

Плазмоид — ограниченная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью вириальной теоремы легко показать, что любая такая конфигурация расширяется, если не сдерживается внешними силами. В конечной конфигурации поверхностный интеграл исчезнет без оказывающих давление стен или магнитных катушек. Так как все другие слагаемые справа положительные, ускорение момента инерции также будет положительно. Легко оценить время расширения ${\displaystyle \tau }$. Если полная масса ${\displaystyle M}$ ограничена в пределах радиуса ${\displaystyle R}$, то момент инерции — примерно ${\displaystyle MR^{2}}$, и левая сторона в вириальной теореме — ${\displaystyle MR^{2}/\tau ^{2}}$. Слагаемые справа составляют в целом величину порядка ${\displaystyle pR^{3}}$, где ${\displaystyle p}$ — большее из плазменного давления или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и учитывая, что ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3}}$, ${\displaystyle p\sim nkT}$, ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i}}}}$, где ${\displaystyle m_{i}}$ есть масса иона, ${\displaystyle n}$ — концентрация ионов, ${\displaystyle V\sim R^{3}}$ — объём плазмоида, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура, для ${\displaystyle \tau }$ находим:

${\displaystyle \tau \sim R/c_{s},}$

где ${\displaystyle c_{s}}$ является скоростью

, если магнитное давление выше, чем плазменное давление). Таким образом, время жизни плазмоида, как ожидают, будет равняться по порядку величины акустическому (альфеновскому) времени прохождения.

В случае, когда в физической системе учитывается поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорений частиц, теорема вириала в релятивистской форме записывается так:^[4]

${\displaystyle ~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$

причём величина ${\displaystyle ~W_{k}\approx \gamma _{c}T}$ превышает кинетическую энергию частиц ${\displaystyle ~T}$ на множитель, равный фактору Лоренца ${\displaystyle ~\gamma _{c}}$ частиц в центре системы. В обычных условиях можно считать, что ${\displaystyle ~\gamma _{c}\approx 1}$, и тогда видно, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом 0,5, а скорее коэффициентом, близким к 0,6. Отличие от классического случая возникает за счёт учёта поля давления и поля ускорений частиц внутри системы, при этом производная от скалярной функции ${\displaystyle ~G}$ не равна нулю и должна рассматриваться как производная Лагранжа.

Анализ интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя понятия температуры:^[5]

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}}},}$

где ${\displaystyle ~c}$ есть скорость света, ${\displaystyle ~\eta }$ — постоянная поля ускорений, ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ — плотность массы частиц, ${\displaystyle ~r}$ — текущий радиус.

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом: ^[6]

${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$

где энергия ${\displaystyle ~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}}$

рассматривается как кинетическая энергия поля, связанная с 4-током ${\displaystyle ~j^{\alpha }}$, а величина

${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}}$

задаёт потенциальную энергию поля, находимую через компоненты электромагнитного тензора.

• Вириальное разложение

• Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd. ed. — Addison-Wesley, 1980. — ISBN 0-201-02918-9.