Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г.^[1] Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.^[2][3]

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$ при значениях аргумента ${\displaystyle \omega }$, являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных ${\displaystyle n=1,\;2,\;\ldots }$. Назовем высотой полинома величину ${\displaystyle h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)}$ и предположим, что она возрастает. Обозначим ${\displaystyle w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|}$. Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам ${\displaystyle P}$ степени не более ${\displaystyle n}$, высоты не более ${\displaystyle H}$ и с условием ${\displaystyle P(\omega )\neq 0}$. Обозначим ${\displaystyle w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H)}}}{\ln H}}}$${\displaystyle w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )}$. Пусть ${\displaystyle \omega }$ — трансцендентное число. Введем обозначения: ${\displaystyle \Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )}$ — для вещественных чисел, ${\displaystyle \eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )}$ — для комплексных чисел, ${\displaystyle \Theta (\omega )=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega )}$, где ${\displaystyle n=1,\;2,\;\ldots }$, ${\displaystyle \eta (\omega )=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )}$, где ${\displaystyle n=2,\;3,\;\ldots }$.

Гипотеза Малера утверждает, что ${\displaystyle \Theta (\omega )=1}$, ${\displaystyle \eta (\omega )={\frac {1}{2}}}$^[4].

Доказательство есть в статье^[3].

• Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. — Минск: Наука и техника, 1967. — 184 с.