Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона
Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона служит для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих отсчётов.
Интерполяционная формула, как её обычно называют, восходит к работе
где — период дискретизации, — частота дискретизации, — нормализированная
Граничные условия
Есть два граничных условия, которым должна удовлетворить функция , для того чтобы выполнялась интерполяционная формула:
- должно быть ограничено. Преобразование Фурье для функции должно обладать следующим свойством: для , где .
- Частота дискретизации должна по крайней мере более чем в два раза превышать диапазон частот, , или что эквивалентно:
где — период дискретизации.
Интерполяционная формула воссоздаёт оригинальный сигнал только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные —
Интерполяция как сумма свёртки
Интерполяционная формула выведенная в
Это эквивалентно фильтрации «гребёнкой» Дирака с помощью идеального низкочастотного фильтра.
Сходимость
Интерполяционная формула всегда сходится, конечно и локально равномерно при условии:
Неравенство Гёльдера считается выполненным, если последовательность принадлежит к любому из -
Это условие достаточно, но не необходимо.
Случайные стационарные процессы
Если — бесконечная последовательность отсчётов дискретной функции в широком смысле стационарного процесса, и она не является членом любого или -пространства, с вероятностью 1; то сумма этих отсчётов, возведённых в степень , не принимает конечного ожидаемого значения. Несмотря на то, что интерполяционная формула сходится с вероятностью 1. Сходимость легко может быть показана путём расчёта разницы в ограниченных условиях суммирования, и свидетельствует о том, что разницу можно сделать сколь угодно малой при выборе достаточного количества условий. Если этот процесс отличен от нуля, тогда пары условий должны быть учтены таким образом, чтобы показать, что ожидаемое значение из ограниченных выражений сходится к нулю.
Поскольку случайный процесс не имеет
См. также
- Сглаживание
- Алиасинг
- Преобразование Фурье
- Теорема Котельникова
- Дискретизация (семплинг)
- Sinc-функция