Конвекти́вная произво́дная от векторной либо скалярной функции в точке
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
конвекции (движении среды с определенной скоростью
u
→
(
r
→
,
t
)
{\displaystyle {\vec {u}}({\vec {r}},t)}
субстанциональной производной
) и может быть найдена путём действия оператора
(
u
→
⋅
∇
)
{\displaystyle ({\vec {u}}\cdot \nabla )}
на скалярную либо векторную функцию (тут
∇
{\displaystyle \nabla }
—
оператор набла ).
В общем случае материальная производная имеет вид:
D
A
D
t
=
D
A
D
t
−
(
A
⋅
(
∇
⊗
v
)
)
−
(
(
∇
⊗
v
)
⋅
A
)
+
α
1
(
Sym
(
∇
⊗
v
)
⋅
A
)
+
α
2
(
A
⋅
Sym
(
∇
⊗
v
)
)
+
α
3
⋅
A
⋅
Tr
(
∇
⊗
v
)
{\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}\mathbf {A} }{{\mathcal {D}}t}}={\frac {D\mathbf {A} }{Dt}}-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)-\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{1}\left(\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{2}\left(\mathbf {A} \cdot \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)+\alpha _{3}\cdot \mathbf {A} \cdot \operatorname {Tr} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)}
или в индексной записи:
D
A
i
j
D
t
=
D
A
i
j
D
t
−
A
i
k
⋅
v
k
,
j
−
v
i
,
k
⋅
A
k
j
+
α
1
⋅
v
(
i
,
k
)
⋅
A
k
j
+
α
2
⋅
A
i
k
⋅
v
(
k
,
j
)
+
α
3
⋅
A
i
j
⋅
v
k
,
k
{\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}A_{ij}}{{\mathcal {D}}t}}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+\alpha _{1}\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+\alpha _{2}\cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+\alpha _{3}\cdot {A}_{ij}\cdot v_{k,k}}
где
D
A
i
j
D
t
=
∂
A
i
j
∂
t
+
v
k
⋅
∂
A
i
j
∂
x
k
{\displaystyle {\frac {DA_{ij}}{Dt}}={\frac {\partial A_{ij}}{\partial t}}+v_{k}\cdot {\frac {\partial A_{ij}}{\partial x_{k}}}}
∇
⊗
v
{\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }
v
i
,
j
=
∂
v
i
∂
x
j
{\displaystyle v_{i,j}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}}
Sym
(
∇
⊗
v
)
=
1
2
(
(
∇
⊗
v
)
+
(
∇
⊗
v
)
T
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)+\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)}
v
(
i
,
j
)
=
1
2
(
v
i
,
j
+
v
j
,
i
)
{\displaystyle v_{(i,j)}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}+v_{j,i}\right)}
симметрирование
тензора;
Alt
(
∇
⊗
v
)
=
1
2
(
(
∇
⊗
v
)
−
(
∇
⊗
v
)
T
)
{\displaystyle \operatorname {Alt} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)-\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)}
v
[
i
,
j
]
=
1
2
(
v
i
,
j
−
v
j
,
i
)
{\displaystyle v_{[i,j]}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)}
альтернирование
тензора.Виды:
A
▽
i
j
=
D
A
i
j
D
t
−
A
i
k
⋅
v
k
,
j
−
v
i
,
k
⋅
A
k
j
{\displaystyle {\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}}
Нижняя конвективная производная (производная Коттера — Ривлина) —
α
1
=
α
2
=
4
,
α
3
=
0
{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=0}
A
△
i
j
=
D
A
i
j
D
t
+
A
i
k
⋅
v
k
,
j
+
v
i
,
k
⋅
A
k
j
{\displaystyle {\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}}
Правая конвективная производная —
α
1
=
α
2
=
2
,
α
3
=
0
{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=0}
A
◃
i
j
=
D
A
i
j
D
t
−
A
i
k
⋅
v
k
,
j
+
v
i
,
k
⋅
A
k
j
{\displaystyle {\stackrel {~\triangleleft }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}}
Левая конвективная производная —
α
1
=
α
3
=
0
,
α
2
=
2
{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{3}=0,\alpha _{2}=2}
A
▹
i
j
=
D
A
i
j
D
t
+
A
i
k
⋅
v
k
,
j
−
v
i
,
k
⋅
A
k
j
{\displaystyle {\stackrel {~\triangleright }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}}
Вращательная производная (производная Яумана , Яумана — Зарембы — Нолла) —
α
1
=
α
2
=
−
1
,
α
3
=
0
{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=0}
A
∘
i
j
=
D
A
i
j
D
t
+
A
i
k
⋅
v
[
k
,
j
]
−
v
[
i
,
k
]
⋅
A
k
j
=
1
2
(
A
▽
i
j
+
A
△
i
j
)
{\displaystyle {\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}\right)}
Производная Трусделла —
α
1
=
α
2
=
0
,
α
3
=
1
{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=0,\alpha _{3}=1}
A
▾
i
j
=
D
A
i
j
D
t
−
A
i
k
⋅
v
k
,
j
−
v
i
,
k
⋅
A
k
j
+
A
i
j
⋅
v
k
,
k
=
A
▽
i
j
+
A
i
j
⋅
v
k
,
k
{\displaystyle {\stackrel {~\blacktriangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}
Производная Хилла —
α
1
=
α
2
=
−
1
,
α
3
=
1
{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=1}
A
∙
i
j
=
D
A
i
j
D
t
+
A
i
k
⋅
v
[
k
,
j
]
−
v
[
i
,
k
]
⋅
A
k
j
+
A
i
j
⋅
v
k
,
k
=
A
∘
i
j
+
A
i
j
⋅
v
k
,
k
{\displaystyle {\stackrel {~\bullet }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}
Различные виды конвективной производной используются для моделирования
жидкость Максвелла
.
![{\displaystyle v_{[i,j]}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37bae6eb40e1499d9df48c7239bf7339bf68cfe)
![{\displaystyle {\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd80eccad7b306325e63ab7148f82443d1f0da12)
![{\displaystyle {\stackrel {~\bullet }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0933c00145d0a4df915d2e0aac45e4ffc851980)
