Мера иррациональности действительного числа
— это действительное число
, показывающее, насколько хорошо
может быть приближено рациональными числами.
Определение
Пусть
— действительное число, и пусть
— множество всех чисел
таких, что неравенство
имеет лишь конечное число решений в целых числах
и
:
![{\displaystyle M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7803dbc24fc725421b525da61bb966d6b95f0ed)
Тогда мера иррациональности
числа
определяется как
точная нижняя грань
![{\displaystyle M(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7890651e636aaaaa8fb71f9940ed829b5155b565)
:
![{\displaystyle \mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c6884835121d531b21ae9819c7ec30e82e4b62)
Если
, то полагают
.
Другими словами,
— наименьшее число, такое, что для любого
для всех рациональных приближений
с достаточно большим знаменателем верно, что
.
Возможные значения меры иррациональности
тогда и только тогда, когда
— рациональное число.
- Если
— алгебраическое иррациональное число, то
.
- Если
— трансцендентное число, то
. В частности, если
, то число
называют лиувиллевым числом.
Связь с цепными дробями
Если
— разложение числа
в
цепную дробь
, и
![{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0385b3436c4b2793fae0b6d973282ea0f08ed9bf)
—
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
-ая подходящая цепная дробь, то
![{\displaystyle \mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bf05697d2d880eff3a035009fc6e1b071a1a65)
С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения
, и тогда
.
Теорема Туэ — Зигеля — Рота
По лемме Дирихле, если
иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что
, то есть
. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа
степени
можно подобрать константу
такую, что
. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота[англ.]*. Она утверждает, что если
— алгебраическое иррациональное число, то
. За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.
Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел
Для
почти всех
трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что
![{\displaystyle \mu \left(e\right)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfdc83d918f47cb1cfb9f4c7eeb85a9ec98e3ad)
, а также известны
числа Лиувилля
, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:
[1]
![{\displaystyle \mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a03245241bcd63a8e1cd683c2d980e67f19544a)
![{\displaystyle \mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2144685eace709c5eb024abde06667b4ab97009)
[2]
[3]
![{\displaystyle \mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f5d20afea0830037907496f6f3be3930c3cfc5)
См. также
Примечания
Ссылки