Метрика Леви — Прохорова (метрика Прохорова) —
в 1937 году).
Определяется на пространстве
всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве
, где
— метрическое пространство, а
— борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества
определяется эпсилон-окрестность
как:
,
где
—
открытый шар
радиусом
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
с центром в
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
. Метрика
![{\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5050f48929cac91a7868a9a8a124587c06627479)
определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
и
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
как:
.
Очевидно, что для вероятностных мер
.
Свойства
Если пространство
является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом,
— это метризация топологии слабой сходимости вероятности на
.
Метрическое пространство
является сепарабельным тогда и только тогда когда
сепарабельно.
Если пространство
является полным, то
также является полным пространством. Если у всех мер в
есть сепарабельный
носитель меры
, то обратное утверждение также верно: если
![{\displaystyle (M,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78e6f2ddf5baee227ee2a9f164726ba0c23c263)
— полное, то
![{\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4502479144545b22357ed58aa95f5f922fcbdc32)
— полное. В частности, это тот случай, когда
![{\displaystyle (M,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78e6f2ddf5baee227ee2a9f164726ba0c23c263)
является сепарабельным.
Если
сепарабельное и полное, подмножество
является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда
-замыкание является
-компактным.
Если
сепарабельное, то
, где
— метрика Ци Фаня[1][2].
Примечания
Литература