Модель Блэка — Шоулза

Модель ценообразования опционов Блэка — Шоулза (

Согласно модели Блэка — Шоулза ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива цена на него возрастает или понижается, что прямо пропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, можно определить уровень ожидаемой рынком волатильности^[1].

Формула модели оценки опционов впервые была выведена

Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения:

• Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами (в частности, эти параметры являются постоянными в течение всего срока действия опциона).
• По базисному активу опциона
  дивиденды
  не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
• Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
• Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
• Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части её цены.
• Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
• Не существует возможности арбитража.

Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.

Цена опциона call:

${\displaystyle C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),}$ где

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}},}$

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}.}$

Цена опциона put:

${\displaystyle P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).}$

Обозначения:

• ${\displaystyle C}$ — цена опциона call;
• ${\displaystyle S}$ — текущая цена базисного актива (спот);
• ${\displaystyle N(x)}$ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения;
• ${\displaystyle X}$ — цена исполнения опциона (страйк) (также может использоваться обозначение ${\displaystyle K}$);
• ${\displaystyle r}$ — безрисковая процентная ставка;
• ${\displaystyle T}$ — время до экспирации опциона (считается в годах);
• ${\displaystyle \sigma }$ — волатильность доходности базисного актива.

Для характеристики чувствительности цены (премии) опциона к изменению тех или иных величин, применяют различные коэффициенты, называемые «греками». Название происходит от греческого алфавита, буквами которого обозначаются эти коэффициенты (за исключением «веги»). «Греки» в рамках модели Блэка — Шоулза вычисляются явным образом:

«Грек»	Представление в виде частной производной	Опционы call	Опционы put
дельта	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial S}}}$	${\displaystyle N(d_{1})}$	${\displaystyle -N(-d_{1})=N(d_{1})-1}$
гамма	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}c}{\partial S^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T}}}}}$
вега[3][4]	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial \sigma }}}$	${\displaystyle SN'(d_{1}){\sqrt {T}}}$
тета	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T}}}}-rKe^{-r(T)}N(d_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T}}}}+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})}$
ро[4]	${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial r}}}$	${\displaystyle K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})}$	${\displaystyle -K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})}$

Примечательно, что формулы гамма и вега одинаковы для опционов пут и колл, что является логическим выводом теории паритета опционов пут и колл.

Например, знание коэффициентов «дельта» ${\displaystyle \Delta }$ и «гамма» ${\displaystyle \Gamma }$ позволяют оценить изменение цены (премии) опциона ${\displaystyle \delta c}$ при изменении цены финансового инструмента ${\displaystyle \delta S}$, лежащего в основе опциона:

${\displaystyle \delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.}$

Эта формула получается при помощи разложения в ряд Тейлора цены опциона ${\displaystyle c(S)}$. Аналогично, чем больше «тета», тем быстрее происходит временной распад опциона, и т. д.

Из модели Блэка — Шоулза прямым образом следует модель Мертона, позволяющая смоделировать значение собственного капитала компании на основании значений стоимости компании и её долга, представленного в виде бескупонной облигации^[5]. В данном случае собственный капитал S представим в виде длинного колл-опциона на совокупную стоимость компании V с ценой страйк в значении номинала бескупонной облигации F:

${\displaystyle S=max(V-F,0)}$

Долг D в свою очередь представим в виде портфеля либо с длинной позицией с бескупонной облигацией F и коротким пут-опционом на капитал компании V с ценой страйк F, либо с длинной позицией на капитал компании V и коротким колл-опционом на V со страйком F:

${\displaystyle D=F-max(F-V,0)=V-max(V-F,0)}$

• Black, Fischer; Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities (англ.) //
  doi:10.1086/260062. [1]
• Merton, Robert C. Theory of Rational Option Pricing (англ.) //
  doi:10.2307/3003143. — JSTOR 3003143
  .
• Hull, John C.^[англ.]. Options, Futures, and Other Derivatives. — Prentice Hall, 1997. — ISBN 0-13-601589-1.

В другом языковом разделе есть более полная статья Black–Scholes model (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода