Нера́венство Ю́нга — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.
Формулировка
Пусть
и
— сопряженные показатели (то есть такие числа, что
). Тогда
.
Равенство достигается в том и только том случае, когда
.
Доказательство
Для
или
неравенство очевидно. Для
,
неравенство следует из
: для любых
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
,
.
Положив в этом неравенстве
, получим, что
,
откуда следует неравенство Юнга.
Альтернативный вариант
Можно показать, что неравенство Юнга является частным случаем неравенства Юнга — Фенхеля, которое для скалярной функции записывается в виде:
![{\displaystyle f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb700650d0d314cf3945bf172431b6a9fe20058e)
где
— преобразование Лежандра от функции
. Если положить
, то преобразование Лежандра в точке
даёт
![{\displaystyle f^{\star }(y)=xy-{\frac {x^{p}}{p}}={\frac {y^{q}}{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a313077be873ed83a35ee3f127e1a485031007e)
где
. Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.
См. также