Обратное число

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: ${\displaystyle {\frac {1}{x^{1}}}}$ или ${\displaystyle x^{-1}}$. Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными^[1].

Примеры.

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными: ${\displaystyle +1}$ и ${\displaystyle -1.}$

Обратное для числа ${\displaystyle 2}$ или, если быть точным, ${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$ равно ${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$

Обратное для числа ${\displaystyle {\frac {11}{35}}}$ равно ${\displaystyle {\frac {35}{11}}.}$

Обратное для числа ${\displaystyle \pi =3{,}1415926535\dots }$ равно ${\displaystyle 0{,}3183098861\dots }$

Обратное число не следует путать с противоположным или с обратной функцией. Обратные: ${\displaystyle {\frac {5}{1}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$. Противоположные: ${\displaystyle +5}$ и ${\displaystyle -5}$.

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов^[⇨].

Для любого

. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число	Обратное
	Дробь	Степень
${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\frac {1}{n^{1}}}}$	${\displaystyle n^{-1}}$

То есть ${\displaystyle \ {\frac {1}{n^{1}}}=n^{-1}}$.

Примеры
Число	${\displaystyle {\frac {3}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle -{\frac {2}{7}}}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -0,125}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle e^{\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 10^{23}}$
Обратное	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {10}{1}}}$	${\displaystyle -{\frac {7}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$	${\displaystyle 0,5}$	${\displaystyle -8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{4}}}}$	${\displaystyle 10^{-23}}$

Обратное для нуля

В арифметике, которая оперирует действительными или комплексными числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

• Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty }$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }}$
• Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty }$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }}$

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

• ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }}$

Но ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to +0}{\frac {x^{2}}{x}}=0}$

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число ${\displaystyle (z)}$	Обратное ${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}\right)}$[2]
Алгебраическая	${\displaystyle x+iy}$	${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}$
Тригонометрическая	${\displaystyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$	${\displaystyle {\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )}$
Показательная	${\displaystyle re^{i\varphi }}$	${\displaystyle {\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }}$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число ${\displaystyle (z)}$	Обратное ${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}\right)}$[2]
Алгебраическая	${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}i}$
Тригонометрическая	${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)}$ или ${\displaystyle 2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$[3]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$[3]
Показательная	${\displaystyle 2e^{i{\frac {\pi }{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-i{\frac {\pi }{3}}}}$

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это ${\displaystyle \pm i}$.

Число	Равенство обратного и противоположного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
${\displaystyle i}$	${\displaystyle {\frac {1}{i}}=-i}$	${\displaystyle i^{-1}=-i}$
${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -{\frac {1}{i}}=i}$	${\displaystyle -i^{-1}=i}$

Понятие обратного элемента на произвольном множестве ${\displaystyle M}$ можно определить для любой бинарной операции на этом множестве, если для этой операции существует нейтральный элемент — например, в кольце квадратных матриц заданного порядка. Если операция не ассоциативна, то приходится различать левый и правый обратный элементы.

Элементы

• Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Москва: Учпедгиз, 1959.