Обхват (теория графов)

Обхват

Кубические графы (все вершины имеют степень три) с как можно меньшим обхватом ${\displaystyle g}$ известны как ${\displaystyle g}$-клетки (или как (3,${\displaystyle g}$)-клетки).

• 
  Граф Петерсена имеет обхват 5
• 
  Граф Хивуда имеет обхват 6
• 
  граф Макги

  имеет обхват 7
• 
  Граф Татта — Коксетера (8-клетка Татта) имеет обхват 8

Для любого положительного целого ${\displaystyle k}$ существует граф ${\displaystyle G}$ с обхватом ${\displaystyle g(G)\geq k}$ и хроматическим числом ${\displaystyle \chi (G)\geq k}$. Например,

План доказательства. Назовём циклы длиной не более ${\displaystyle k}$ короткими, а множества с ${\displaystyle |G|/k}$ и более вершин — большими. Для доказательства теоремы достаточно найти граф ${\displaystyle G}$ без коротких циклов и больших независимых множеств вершин. Тогда множества цветов в раскраске не будут большими, и, как следствие, для раскраски потребуется ${\displaystyle k}$ цветов.

Чтобы найти такой граф, будем фиксировать вероятность выбора ${\displaystyle p}$ равной ${\displaystyle n^{\epsilon -1}}$. При малых ${\displaystyle \epsilon }$ в ${\displaystyle G}$ возникает лишь малое число коротких циклов. Если теперь удалить по вершине из каждого такого цикла, полученный граф ${\displaystyle H}$ не будет иметь коротких циклов, а его число независимости будет не меньше, чем у графа ${\displaystyle G}$^[1].

Нечётный обхват и чётный обхват графа — это длины наименьшего нечётного цикла и чётного цикла соответственно.

Окружность графа — это длина наибольшего по длине цикла, а не наименьшего.

Размышления о длине наименьшего нетривиального цикла можно рассматривать как обобщение 1-систолы или большей систолы в систолической геометрии.

Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (29 ноября 2013)