Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка
![{\displaystyle \square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d917845170f23fee47c64336c83eca1b468fc6c)
где
— оператор Лапласа,
— постоянная.
Иногда оператор пишется с противоположным знаком.
Имеет в
декартовых координатах
вид:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94801236f91c4c9841a555a8eec09076224ae3c9)
позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства — как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «
-мерный»).
В случае вектора оператор Даламбера приобретает вид:
[1], где
- вектор,
Назван по имени
Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного
волнового уравнения.
Применяется в
уравнение Клейна — Гордона — Фока
.
Нетрудно увидеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.
Запись в криволинейных координатах
Оператор Д’Аламбера в
сферических координатах
:
![{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8aa357de6ef428160c272f7e4494b3691231ef)
в
цилиндрических координатах
:
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501faead7d00ce537621db3b71131255ee0db76a)
в общих
криволинейных координатах
(для пространства-времени):
![{\displaystyle \square u\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \nu }{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b5335ec22f4fc0d5417ae225a14e91ed3d3107)
где
—
определитель матрицы
![{\displaystyle \|g_{\mu \nu }\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6507cb2432ae54b1b5f4c72829955fcebef4b9d6)
, составленной из коэффициентов
метрического тензора ![{\displaystyle g_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bf4140993a891f5782167dc8a0c236dc7667b8)
.
Примечания
- ↑ Волновое уравнение // Савельев И. В. Курс общей физики. Том II. — С. 398.
Литература