Основная теорема алгебры
Основна́я теоре́ма
Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся доказательства привлекают неалгебраические концепции вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений.
Доказательство
Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами
Следствие
Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом их
Другими словами,
Доказательство следствия
Случай очевиден, поэтому сразу переходим к случаю . У данного многочлена тогда есть корень , что по определению корня многочлена (в школьной математике обычно ссылаются на теорему Безу, чтобы отождествлять определения многочлена и соответствующего уравнения ), означает представи́мость в виде , где — некоторый многочлен, степень которого на 1 меньше степени и у него по основной теореме алгебры тоже будет хотя бы один корень, который может не равняться а может и совпасть с (в последнем случае корень окажется кратным). Приме́ним теорему Безу к и будем
История
История теоремы впервые получает развитие у немецкого математика Петера Рота[нем.] (?—1617). В своём трактате «Arithmetica Philosophica» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен степени не может иметь более корней
Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»[3].
Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера[9]. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс[10].
В 2007 году Джозеф Шипман показал, что любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто[11].
См. также
- Основная теорема анализа
- Основная теорема арифметики
Примечания
- ↑ Rare books Архивная копия от 21 октября 2019 на Wayback Machine // e-rara.ch
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 23—25.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 42.
- ↑ D'Alembert. Recherches sur le calcul intégral // Memoires de l'academie royale des sciences et des belles lettres. — Berlin, 1748. — Vol. 2. — P. 182—224.
- ↑ Euler. Recherches sur les racines imaginaires des equations // Memoires de l'academie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1751. — Vol. 5. — P. 222—288.
- ↑ Башмакова, 1957, с. 258.
- ↑ Башмакова, 1957, с. 259.
- ↑ Башмакова, 1957, с. 263.
- ↑ 1 2 Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / Под редакцией Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1978. — С. 44—49.
- ↑ Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Основная теорема алгебры (англ.) — биография в архиве MacTutor.
- ↑ Shipman, Joseph (2007), "Improving the Fundamental Theorem of Algebra", Mathematical Intelligencer, vol. 29, no. 4, pp. 9—14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993
Литература
- Алгебры основная теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 199—200.
- Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях // МЦНМО, 2001. — С. 192. Архивировано8 октября 2010 года.
- Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / Под редакцией Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — Вып. X. — С. 257—304.
- Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Мир, 1975. — 649 с.
- Переиздание: СПб, Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
- Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.
- Almira, J.M.; Romero, A. (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, vol. 14, pp. 1—4 Архивная копия от 2 марта 2021 на Wayback Machine
- de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, pp. 1—2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2
- Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra Архивная копия от 1 мая 2017 на Wayback Machine — English translation of Gauss’s second proof.
Ссылки
- J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra . MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996). Дата обращения: 13 ноября 2015. Архивировано 2 ноября 2015 года.