Полярное разложение — представление квадратной матрицы
в виде
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
и
унитарной ![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
матриц
![{\displaystyle A=SU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5530529d09ca53a1054e608a33db08c5de0cf28f)
. Является аналогом
в виде
![{\displaystyle z=|z|e^{i\varphi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be15ce77bdb4983c98604002ed7bbd556b5b9205)
.
Свойства
- Любую квадратную матрицу
над
(над
) можно представить в виде
, где
— матрица,
— ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица
невырождена, то такое представление единственно[1].
- Любую матрицу
можно представить в виде
, где
и
— унитарные матрицы,
— диагональная матрица[1].
- Если
— полярные разложения невырожденной матрицы
, то
[1].
Существование
Докажем, что любую квадратную матрицу
над
можно представить в виде произведения
матрицы.
Так как
, то матрица
симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через
, состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы
, расположенных в порядке убывания собственных значений.
Так как
, то для любых векторов
и
базиса
выполняется
. Значит, образ базиса
относительно преобразования
ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования
векторы
базиса
преобразуются в векторы
.
Сингулярные числа матрицы
— квадратные корни
из собственных значений матрицы
.
Отсюда очевидно, что
. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число
, что
.
Пусть
— система векторов
при
, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть
— матрица перехода из базиса
в базис
. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица
ортогональная. Так как
, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы
. Это значит, что матрица
в базисе
имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.
Итак,
, где матрица
ортогональная, а матрица
симметричная.
Примечания
Литература
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.