Произведение (теория категорий)
Произведение двух или более
Определение
Пусть задано — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории . Объект категории вместе с семейством морфизмов является произведением семейства объектов , если для любого объекта и любого семейства морфизмов существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма:
![Universal product of the product](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/CategoricalProduct-01.png)
коммутативна для каждого (то есть ). Морфизмы называются каноническими проекциями.
Приведенное определение равносильно следующему:
Объект вместе с семейством проекций является произведением семейства объектов тогда и только тогда, когда для любого объекта отображение
Произведение двух объектов обычно обозначают , при этом диаграмма принимает вид
![Universal product of the product](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/CategoricalProduct-03.png)
Морфизм при этом иногда обозначается .
Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых .[1]
Примеры
- В декартовым.
- В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а произведениеих топологий.
- В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
- В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
- Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из в существует тогда и только тогда (по определению), когда (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.
Свойства
- Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
- Коммутативность:
- Ассоциативность:
- Если в категории существует терминальный объект, то
- Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.
Дистрибутивность
В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Product-Coproduct_Distributivity.png)
Свойство универсальности для гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.
Матрица преобразований
Любой морфизм
порождает множество морфизмов
задаваемых по правилу и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования задаёт единственный соответствующий морфизм Если в категории существует
называется единичной матрицей.
- Пример
В категории конечномерных векторных пространств копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.
См. также
- Копроизведение — понятие, двойственное произведению.
- Декартово замкнутая категория
Примечания
- ↑ Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
Литература
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categpries and functors. — М.: Мир, 1972. — С. 39. — 259 с.
- Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
- Жаринов В. В. Некоторые алгебро-геометрические методы в математической физике. — С. 8. — 82 с.