Пространство непрерывных функций
Пространство непрерывных функций — линейное
нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные
на отрезке функции (обычно обозначается , иногда или или ) .
Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.
Свойства
- Если последовательность элементов из сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции , то при .
- Отсюда: — банахово пространство.
- Пространство непрерывных функций аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
- В не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.
Вариации и обобщения
Аналогичным образом это пространство строится так же и над
точную верхнюю грань
.
Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) называется множество всех непрерывных ограниченных функций со введённой на нём нормой:
Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:
В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует
полного линейного пространства
.
Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность
Его
пополнение
есть — пространство суммируемых функций
.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. И. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
- Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
- M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
- Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |