Равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция | |
---|---|
![]() | |
Тип | четырёхугольник, трапеция |
Рёбра | 4 |
Вид симметрии |
Dih2, [ ], (*), порядок 2 |
Двойственный многоугольник | дельтоид |
Свойства | |
выпуклый, вписанный |
В
Специальные случаи
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/1/15/Isosceles_trapezoid_special_cases_RU.svg/280px-Isosceles_trapezoid_special_cases_RU.svg.png)
Прямоугольники и квадраты обычно рассматриваются как специальные случаи равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.
Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) [1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) [2] или, реже, symtra [3]. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.
Самопересечения
Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.
У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции[4].
![]() |
![]() |
![]() |
Выпуклая равнобедренная трапеция |
Самопересекающаяся равнобедренная трапеция |
Антипараллелограмм |
---|
Свойства
Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы являются специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у них нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:
- Диагонали имеют одинаковую длину.
- Углы при основании равны.
- Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
- Сумма противоположных углов равна 180°, из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
- Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE, если хотят исключить прямоугольники).
Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как "вписанный четырёхугольник с равными диагоналями" [5], как "вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон", или как "выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон".
Углы
В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми
Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть ∠ABC + ∠BAD = 180°.
Диагонали и высота
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Isoscelestriangle2.svg/350px-Isoscelestriangle2.svg.png)
Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (AC = BD) и делят друг друга на отрезки той же длины (AE = DE и BE = CE).
Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть
Длина каждой диагонали, согласно следствию из теоремы Птолемея, задаётся формулой
- ,
где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.
Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой
Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой
- ,
где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.
Площадь
Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем AD = a, BC = b, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:
- .
Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до
где — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде
Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности задаётся формулой[6]
Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до .
См. также
Литература
- George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. — J. Wiley & sons, 1896..
- William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. — The Century co., 1911..
Примечания
- ↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Архивная копия от 22 декабря 2014 на Wayback Machine
- ↑ isosceles trapezoid . Дата обращения: 25 сентября 2016. Архивировано 26 августа 2016 года.
- ↑ 1 2 Halsted, 1896, с. 49–53.
- ↑ Whitney, Smith, 1911, с. 1547.
- ↑ Mzone.mweb.co.za . Дата обращения: 25 сентября 2016. Архивировано 19 июля 2011 года.
- ↑ Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [2] Архивная копия от 28 июня 2018 на Wayback Machine Accessed 1 July 2014.
Ссылки
Для улучшения этой статьи желательно:
|