Соленоид Смейла — Вильямса
Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.
Определение
Отображением соленоида называют отображение
полнотория в себя, заданное как
Здесь диск для удобства рассматривается как единичный диск на комплексной плоскости: .
Максимальный аттрактор этого отображения (как и всю соответствующую динамическую систему) называют соленоидом Смейла — Вильямса.
Свойства
- Отображение соленоида гиперболично.
- Сам соленоид оказывается гомеоморфен множеству, получаемому при реализации процедуры надстройки над одометром — отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах .
- Динамика на соленоиде допускает левый сдвигна пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.
Ссылки
- Аттрактор Смейла — Вильямса на сайте «Саратовской группы нелинейной динамики».
Литература
- Синай Я. Г., Вершик А. М., Добрушин Р. Л., Динамические системы-2, ВИНИТИ.
- МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.