Список интегралов элементарных функций
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 6 сентября 2021 года; проверки требуют 4 правки.
теоремы Лиувилля
следует, что интеграл от не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры.
На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.
использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.
Правила интегрирования функций
Интегралы элементарных функций
- (первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)
Доказательство
Сделаем замену , получим
- («высокий логарифм»)
Логарифмы
- («длинный логарифм»)
Доказательство
Пусть , предположим также, что . Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену
Но
Поэтому
Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем
Если , то заменой сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же , то делаем замену и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю[1].
Доказательство
Доказательство
-
- также
- также
Доказательства
Доказательство формулы :
Доказательство формулы : .
Доказательство формулы :
Примечания
- ↑ Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 187. — ISBN 5-06-003768-1.
Библиография
- Книги
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений . — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
- Двайт Г. Б. Таблицы интеграловISBN 5-85529-029-8. . — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. —
- Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
- Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз.
- Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
- Таблицы интегралов
- Вычисление интегралов