Стохастическая матрица

• Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и
  их произведение
  ${\displaystyle R=PQ}$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{ij}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}(\sum _{i=1}^{n}a_{ik})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}=1}$ , поскольку матрицы A и B стохастические.

Конечная стохастическая матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N}$ называется регуля́рной, если существует такое ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, что

${\displaystyle p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N}$,

где ${\displaystyle p_{ij}^{(n)}}$ — элементы ${\displaystyle n}$-ой степени матрицы ${\displaystyle P}$, то есть ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$.