Сходимость по мере

Эта страница требует существенной переработки. Возможно, её необходимо правильно оформить, дополнить или переписать. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К улучшению/7 июня 2024.

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в

• Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится по мере к ${\displaystyle f}$, то у неё существует подпоследовательность ${\displaystyle f_{n_{k}}}$, сходящаяся к ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$-почти всюду.

• Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится по мере к ${\displaystyle f}$ тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности ${\displaystyle f_{n}}$ существует подпоследовательность, которая сходится к ${\displaystyle f}$ почти всюду.

• Если последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится по мере к ${\displaystyle f}$, и ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;|f_{n}|\leqslant g}$, где ${\displaystyle g\in L^{p},\;p\geqslant 1}$, то ${\displaystyle f_{n},f\in L^{p}}$, и ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$.

• Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится ${\displaystyle \mu }$-почти всюду к ${\displaystyle f}$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ сходится в ${\displaystyle L^{p}}$ к ${\displaystyle f}$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность случайных величин ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, то она сходится к ${\displaystyle X}$ и по распределению.
• Если последовательность случайных величин ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по вероятности к ${\displaystyle X}$, то для любой непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ верно, что ${\displaystyle f(X_{n})\to f(X),n\to \infty }$. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty }$

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.