Теорема Пуассона

Теорема Пуассона (предельная теорема Пуассона) — утверждение теории вероятностей о сходимости распределений сумм независимых случайных величин в схеме Бернулли к распределению Пуассона. Установлена Пуассоном в 1837 году.

В общей формулировке для последовательности серий независимых испытаний ${\displaystyle \{X_{nj}\}_{j=1}^{n}}$ с вероятностями наступления событий:

${\displaystyle p_{nj}=\mathrm {P} \{X_{nj}=1\}=1-P\{X_{nj}=0\}}$

такими, что при больших ${\displaystyle n}$ они в пределе стремятся к нулю:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{1\leqslant j\leqslant n}p_{nj}=0}$,

при этом в сумме в серии конечны и отличны от нуля:

${\displaystyle 0<\lambda =\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}p_{nj}<\infty }$,

для событий ${\displaystyle S_{n}=X_{n1}+\dots +X_{nn}}$ предельное утверждение теоремы для всех ${\displaystyle k=0,1,\dots }$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {P} \{S_{n}=k\}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$.

Широко распространена интерпретация результата как закона малых чисел (Борткевич, 1908)^[1] или как теоремы о редких событиях для схемы Бернулли: при малой вероятности ${\displaystyle p}$ наступления каждого из событий по мере роста количества испытаний ${\displaystyle n}$ вероятности того, что событие наступило ${\displaystyle k}$ раз, приближаются к^[2]:

${\displaystyle {\frac {(np)^{k}}{k!}}e^{-np}}$.

Вместе с теоремой Муавра — Лапласа теорема Пуассона даёт характеристику асимптотического поведения биномиального распределения^[3].

Неравенство Ле Кама^[4]: скорость сходимости (в общей формулировке) может быть оценена:

${\displaystyle {\Big |}\mathrm {P} \{S_{n}=k\}-\exp {\big (}{-\sum _{j=1}^{n}p_{nj}}{\big )}{\frac {(\sum _{j=1}^{n}p_{nj})^{k}}{k!}}{\Big |}\leqslant 2\cdot \sum _{j=1}^{n}p_{nj}^{2}}$;

например, при ${\displaystyle p_{n1}=\dots =p_{nn}=\lambda /n}$ оценка ошибки — ${\displaystyle ^{2\lambda ^{2}}\!/_{n}}$, которая уменьшается по мере роста ${\displaystyle n}$.

Обобщения результата развивались по двум направлениям^[3] — уточнения, основанные на асимптотических разложениях, и нахождение более общих условий сходимости сумм независимых случайных величин к распределению Пуассона^[5].

• Пуассона теорема //
  Ю. С. Осипов
  . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• В. Ю. Королёв. Пуассона теорема // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 523—524. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.
• Encyclopedia of Mathematics
  . EMS Press.
• Прохоров Ю. В., Прохоров А. В. Курс лекций по теории вероятностей и математической статистике. — М.:
  МЦНМО, 2020. — С. 17. — 144 с. — ISBN 978-5-4439-3392-4
  .
• Золотарёв В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. — М.: Наука, 1986. — 416 с.