Теорема Ролля

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция ${\displaystyle f(x)}$, непрерывная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируемая на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, принимает на концах отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ одинаковые значения ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, то на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ найдётся хотя бы одна точка ${\displaystyle c}$, в которой производная функции равна нулю: ${\displaystyle f'(c)=0}$.

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, то согласно

• Если дифференцируемая функция обращается в нуль в ${\displaystyle n}$ различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в ${\displaystyle n-1}$ различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
• Если все корни многочлена ${\displaystyle n}$-ой степени действительные, то и корни всех его производных до ${\displaystyle n-1}$ включительно — также исключительно действительные.
• (Теорема Лагранжа) Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

• Обобщённая теорема Ролля
• Формула конечных приращений
• Теорема Коши о среднем значении

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.