Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, устанавливающий критерий ограниченности линейного оператора между банаховыми пространствами.

• Линейный оператор
  ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график ${\displaystyle \Gamma _{T}:=\{(x,Tx)\in X\times Y:x\in D(T)\}}$ замкнут в пространстве ${\displaystyle X\times Y}$ и при этом оператор определен на всём пространстве X (то есть ${\displaystyle D(T)=X}$).
• Линейный оператор
  ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset X}$, такой что ${\displaystyle x_{n}\to x}$ и ${\displaystyle Tx_{n}\to y}$, выполняется ${\displaystyle y=Tx}$.

• Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.

• Доказательство теоремы о замкнутом графике (англ.)

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.