Унитарный оператор
Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор на гильбертовом пространстве , который удовлетворяет соотношению:
- ,
где — эрмитово сопряжённый к оператор, и — единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:
- сохраняет скалярное произведение гильбертового пространства, то есть для всех векторов и в гильбертовом пространстве и
- — сюръективный оператор.
Это также эквивалентно, казалось бы, более слабому условию:
- сохраняет скалярное произведение и
- образ — плотное множество.
( изометричен, а поэтому является ограниченным линейным оператором — это следует из того, что сохраняет скалярное произведение; образ — плотное множество, таким образом = .)
Унитарный элемент — обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент алгебры называется унитарным элементом, если:
- ,
где — единичный элемент[1].
Свойства унитарных преобразований:
- оператор унитарного преобразования всегда обратим
- если оператор эрмитов, то оператор унитарен.
Спектр унитарного оператора лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, унитарно эквивалентно умножению на
В физике
В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.
Примечания
- ↑ Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems (англ.). — New York: Marcel Dekker[англ.], 1986. — ISBN 0824775694.
Литература
- Унитарный оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).