Уравнение центра
Уравнение центра — в
Обсуждение
Со времён античности задача предсказания движения небесных тел упрощалась до рассмотрения движения одного тела по орбите вокруг другого. При вычислении положения тела на орбите удобно начинать с рассмотрения кругового движения. Первым приближением является произведение постоянной угловой скорости и промежутка времени. Существуют различные методы коррекции приближённого положения на круговой орбите для перехода к эллиптической орбите, многие из таких методов используют уравнение Кеплера. Уравнение центра является одним из наиболее простых методов.
В случае малого эксцентриситета орбиты положение, получаемое из уравнения центра, может быть не менее точным, чем результат применения других методов. Многие исследуемые орбиты, такие как орбиты тел Солнечной системы или искусственных спутников Земли, являются почти круговыми. С ростом эксцентриситета точность уравнения ухудшается, поэтому уравнение не используется для орбит с большими эксцентриситетами.
Уравнение в современном виде можно рассматривать до произвольного уровня точности; при рассмотрении только наиболее важных слагаемых уравнение позволяет достаточно легко вычислять приближённое положение объекта. Подобные приближения можно использовать, например, как начальное приближение в итеративных методах решения уравнения Кеплера[1].
Древние греки, в частности
Представление в виде ряда
В случае кеплерова движения координаты тела повторяются каждую орбиту, что является определением
Ряд для ν,
- где
- функции Бесселя и
Результат разложения выражен в радианах.
Функции Бесселя можно разложить в ряды по степени эксцентриситета e,[10]
и βm,[11]
После подстановки и упрощения выражения уравнение для ν принимает вид (до слагаемого со степенью e7)[8]
переносим M в левую часть и получаем уравнение центра:
Иногда уравнение выводят другим способом и представляют в виде ряда по степеням эксцентриситета с коэффициентами в виде функций от sin M (до слагаемого со степенью e6)
что аналогично полученной выше форме уравнения.[12][13]
При малых e ряд быстро сходится. Если e превышает 0,6627..., то при некоторых значениях M ряд расходится, что было обнаружено П.-С. Лапласом.[12][14]
Примеры
Эксцентриситет орбиты[15] | Максимальное значение уравнения центра | |||
e7 | e3 | e2 | ||
Венера | 0,006777 | 0,7766° | 0,7766° | 0,7766° |
Земля | 0,01671 | 1,915° | 1,915° | 1.915° |
Сатурн | 0,05386 | 6,174° | 6,174° | 6,186° |
Марс | 0,09339 | 10,71° | 10,71° | 10,77° |
Меркурий | 0,2056 | 23,68° | 23,77° | 23,28° |
Примечания
- ↑ 1 2 Vallado, David A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications (англ.). — second. — Microcosm Press, El Segundo, CA, 2001. — P. 82. — ISBN 1-881883-12-4.
- ↑ Narrien, John. An Historical Account of the Origin and Progress of Astronomy (англ.). — Baldwin and Cradock, London, 1833. — P. 230—231.
- ↑ Capderou, Michel. Satellites Orbits and Missions. — Springer-Verlag, 2005. — С. 23. — ISBN 978-2-287-21317-5.
- ↑ Moulton, Forest Ray. An Introduction to Celestial Mechanics. — second revised. — Macmillan Co., New York, 1914. — С. 165. Архивировано 22 марта 2015 года., at Google books Архивная копия от 3 января 2016 на Wayback Machine
- ↑ 1 2 Smart, W. M. Celestial Mechanics. — Longmans, Green and Co., London, 1953. — С. 26.
- ↑ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. Methods of Celestial Mechanics. — Academic Press, New York and London, 1961. — С. 60.
- ↑ Vallado, David A. (2001). p. 80
- ↑ 1 2 Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 77.
- ↑ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 62.
- ↑ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 68.
- ↑ Smart, W. M. (1953). p. 32.
- ↑ 1 2 Moulton, Forest Ray (1914). pp. 171-172.
- ↑ Danby, J.M.A. Fundamentals of Celestial Mechanics. — Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA, 1988. — С. 199—200. — ISBN 0-943396-20-4.
- ↑ Plummer, H. C. An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy (англ.). — Cambridge University Press, 1918. — P. 46—47.
- ↑ Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (англ.) / Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E.. — 3rd. — University Science Books, Mill Valley, CA, 2013. — P. 338. — ISBN 978-1-891389-85-6.
- Marth, A. (1890). On the computation of the equation of the centre in elliptical orbits of moderate eccentricities. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 50, p. 502. Gives the equation of the center to order e10.
- Morrison, J. (1883). On the computation of the eccentric anomaly, equation of the centre and radius vector of a planet, in terms of the mean anomaly and eccentricity. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 43, p. 345. Gives the equation of the center to order e12.
- Morrison, J. (1883). Errata. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 43, p. 494.