Уравне́ния Лагра́нжа второ́го ро́да —
лагранжева формализма
.
Вид уравнений
Если голономная механическая система описывается лагранжианом
(
—
потенциальные силы
, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
,
где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.
При наличии и потенциальных (
), и непотенциальных (
) обобщённых сил появляется правая часть:
.
К непотенциальным силам относится, например,
сила трения
. При этом можно перезаписать уравнения Лагранжа второго рода в несколько иной форме:
,
где
— кинетическая энергия системы,
— обобщённая сила.
Вывод уравнений
Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определённых ограничениях на систему: в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи. Это частный, хотя и очень важный случай механических систем. Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа[1].
Если для рассматриваемой системы актуален принцип наименьшего действия (ему подчиняются далеко не все физические системы), вывод можно провести иначе. В лагранжевой механике вывод уравнений осуществляется на основе данного принципа, гласящего, что действительные движения выделяются из всех мыслимых тем условием, что функционал
,
называемый действием, принимает экстремальное (для достаточно малых
- минимальное) значение на траектории действительного движения системы (
и
— начальный и конечный моменты
уравнения Лагранжа — Эйлера
, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы. Ниже дан вывод уравнения для системы с одной обобщённой координатой и скоростью.
Будем считать, что вариация на границах равна нулю:
.
Изменение действия при переходе из состояния
в
есть
.
Разлагая эту разность по степеням, получим:
.
Варьируя это выражение, получаем:
.
Замечая, что
, проинтегрируем второй член по частям:
.
Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю, только если подынтегральное выражение равно нулю. Таким образом, получаем искомое уравнение Лагранжа:
.
См. также
Примечания
- ↑ Бутенин Б.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. - Тираж 25 000 экз. — С. 56 - 59
- ↑ Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9. - Тираж 2 000 экз. — С. 19 - 23