Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.
Определения
Будем предполагать, что задано вероятностное пространство
.
Дискретные случайные величины
Пусть
и
— случайные величины, такие, что случайный вектор
имеет
![{\displaystyle p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a887ae5e2c458b9cb988567320eae7aaf346505c)
. Пусть
![{\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26975697872d6f7e5ce232574e209d0f28175f46)
такой, что
![{\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d23b2a6a4675dae5096fb1dca6d7a954dd17c51)
. Тогда
функция
,
где
— функция вероятности случайной величины
, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины
при условии, что
. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.
Абсолютно непрерывные случайные величины
Пусть
и
— случайные величины, такие что случайный вектор
имеет
![{\displaystyle f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6acda8542592334515ba790b48b8527af33aac1f)
. Пусть
![{\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26975697872d6f7e5ce232574e209d0f28175f46)
таково, что
![{\displaystyle f_{Y}(y_{0})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5033fe168e5f5fb1b809ca77e9dffccaf116a1)
, где
![{\displaystyle f_{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8b3fed56c8af1f38961f6e4ec0d64fe50ecb4d)
— плотность случайной величины
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
. Тогда функция
![{\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da0bc1daba67e8690cc61f2ace5ae7919a94072)
называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины
при условии, что
. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.
Свойства условных распределений
- Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
,
,
и
почти всюду на
,
,
,
.
- Если случайные величины
и
независимы, то условное распределение равно безусловному:
![{\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec714089bae7541c36649271a2d4791a8280388e)
или
почти всюду на
.
Условные вероятности
Дискретные случайные величины
Если
— счётное подмножество
, то
.
Абсолютно непрерывные случайные величины
Если
— борелевское подмножество
, то полагаем по определению
.
Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как
.
Условные математические ожидания
Дискретные случайные величины
- Условное математическое ожидание случайной величины
при условии
получается суммированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание
при условии случайной величины
— это третья случайная величина
, задаваемая равенством
.
Абсолютно непрерывные случайные величины
- Условное математическое ожидание случайной величины
при условии
получается интегрированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание
при условии случайной величины
— это третья случайная величина
, задаваемая равенством
.
См. также