Формула Карно

Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от центра описанной окружности труегольника до 3 его сторон и радиусов его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь французского учёного

Пусть ${\displaystyle D}$ — центр описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC.}$ Тогда сумма расстояний от ${\displaystyle D}$ до сторон треугольника ${\displaystyle ABC,}$ взятых со знаком минус, когда высота из ${\displaystyle D}$ на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна:

${\displaystyle R+r}$,

где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности,

${\displaystyle R}$ — описанной.

В частности:

${\displaystyle \pm DF\pm DG\pm DH=R+r}$

при правильном выборе знаков^[1]:p.83.

Формула Карно^[2]:

${\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$

где ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника

(они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр),

${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны ${\displaystyle a}$ треугольника равно:

${\displaystyle k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);}$

расстояние от ортоцентра например до вершины ${\displaystyle A}$ треугольника равно:

${\displaystyle d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).}$

Если известны стороны треугольника ${\displaystyle a,b,c}$, то формула Карно принимает вид:

${\displaystyle R+r={\frac {abc+{\frac {1}{2}}(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}}$

• В доказательстве теоремы используется
  теорема Птолемея
  .
• Формулу Карно часто называют теоремой Карно^[3].

• Японская теорема о вписанном многоугольнике:^[3] Если вписанный ${\displaystyle n}$-угольник разрезать на ${\displaystyle n-2}$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
  • Более того, выпуклый ${\displaystyle n}$-угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

• Критерий Карно

• Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. — 1990. — № 7. — С. 54—57.

• Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.