Формула
Лейбница
для
n
{\displaystyle n}
-ой
производной произведения двух функций — обобщение
правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай
n
{\displaystyle n}
-кратного дифференцирования.
Пусть функции
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
n
{\displaystyle n}
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
,
{\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}
C
n
k
=
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(n-k)!}}}
биномиальные коэффициенты .Примеры При
n
=
1
{\displaystyle n=1}
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
.
{\displaystyle (f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.}
В случае
n
=
2
{\displaystyle n=2}
(
f
⋅
g
)
″
=
∑
k
=
0
2
C
2
k
f
(
2
−
k
)
g
(
k
)
=
f
″
g
+
2
f
′
g
′
+
f
g
″
.
{\displaystyle (f\cdot g)''=\sum \limits _{k=0}^{2}{C_{2}^{k}f^{(2-k)}g^{(k)}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.}
В случае
n
=
3
{\displaystyle n=3}
(
f
⋅
g
)
‴
=
∑
k
=
0
3
C
3
k
f
(
3
−
k
)
g
(
k
)
=
f
‴
g
+
3
f
″
g
′
+
3
f
′
g
″
+
f
g
‴
.
{\displaystyle (f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k)}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.}
В случае
n
=
4
{\displaystyle n=4}
(
f
⋅
g
)
(
4
)
=
∑
k
=
0
4
C
4
k
f
(
4
−
k
)
g
(
k
)
=
f
(
4
)
g
+
4
f
(
3
)
g
(
1
)
+
6
f
(
2
)
g
(
2
)
+
4
f
(
1
)
g
(
3
)
+
f
g
(
4
)
.
{\displaystyle (f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.}
Доказательство и обобщение Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения .
В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:
∂
α
(
f
g
)
=
∑
{
β
:
β
≤
α
}
(
α
β
)
(
∂
α
−
β
f
)
(
∂
β
g
)
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).}
Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и
R
=
P
∘
Q
{\displaystyle R=P\circ Q}
R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:
R
(
x
,
ξ
)
=
e
−
⟨
x
,
ξ
⟩
R
(
e
⟨
x
,
ξ
⟩
)
.
{\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}
Непосредственное вычисление дает:
R
(
x
,
ξ
)
=
∑
α
1
α
!
(
∂
∂
ξ
)
α
P
(
x
,
ξ
)
(
∂
∂
x
)
α
Q
(
x
,
ξ
)
.
{\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}
Эта формула также известна как формула Лейбница .
Литература Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М. : Высшая школа, .Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 2-e. — М. : ФАЗИС, . 
