Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика
Философские труды Королевского общества» в 1714 году[1] и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат.Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора[2]. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид[3]
:
.
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье
1748)[4], построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя
.
Производные формулы
При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:
,
.
Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:
,
.
Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:
В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида , где — некоторое множество рассматриваемых объектов, а — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.
Для теории чисел, изучающей
индикаторные
тождества, касающиеся произвольного целого числа .
Применение в комплексном анализе
Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .
Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: , . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз.
Формула возведения в степень верна не только для целых , но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.
Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:
с последующим решением относительно синуса или косинуса.
Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:
Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:
Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:
Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).
Доказательство
Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням . Получим:
Известно, что .
Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется . Это, в частности, связано с тем, что .
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16
Процесс изменения при изменении можно также наглядно продемонстрировать через производную.
Общеизвестно, что и . Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию , получим . Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.
Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.
Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь ,.