Фу́нкции Ха́нкеля (Га́нкеля) (функции Бесселя третьего рода) — линейные комбинации
.
H
ν
(
1
)
(
z
)
=
J
ν
(
z
)
+
i
Y
ν
(
z
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+iY_{\nu }(z)}
H
ν
(
2
)
(
z
)
=
J
ν
(
z
)
−
i
Y
ν
(
z
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-iY_{\nu }(z)}
Функции Ханкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца .
Представление функциями Бесселя первого рода:
H
ν
(
1
)
(
z
)
=
J
−
ν
(
z
)
−
e
−
ν
π
i
J
ν
(
z
)
i
sin
(
ν
π
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{-\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{i\sin(\nu \pi )}}}
H
ν
(
2
)
(
z
)
=
J
−
ν
(
z
)
−
e
ν
π
i
J
ν
(
z
)
−
i
sin
(
ν
π
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{-i\sin(\nu \pi )}}}
W
[
H
ν
(
1
)
(
z
)
,
H
ν
(
2
)
(
z
)
]
=
−
4
i
π
z
{\displaystyle W\left[H_{\nu }^{(1)}(z),H_{\nu }^{(2)}(z)\right]=-{\frac {4i}{\pi z}}}
H
−
ν
(
1
)
(
z
)
=
e
ν
π
i
H
ν
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(1)}(z)=e^{\nu \pi i}H_{\nu }^{(1)}(z)}
H
−
ν
(
2
)
(
z
)
=
e
−
ν
π
i
H
ν
(
2
)
(
z
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(2)}(z)=e^{-\nu \pi i}H_{\nu }^{(2)}(z)}
H
−
ν
(
1
)
(
z
)
∼
2
π
z
e
i
4
(
4
z
−
2
π
ν
−
π
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(1)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}
|
z
|
→
∞
,
−
π
<
arg
z
<
2
π
{\displaystyle |z|\to \infty ,-\pi <\arg z<2\pi }
H
−
ν
(
2
)
(
z
)
∼
2
π
z
e
−
i
4
(
4
z
−
2
π
ν
−
π
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(2)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}
|
z
|
→
∞
,
−
2
π
<
arg
z
<
π
{\displaystyle |z|\to \infty ,-2\pi <\arg z<\pi }
Ватсон Г. Теория бесселевых функций. В 2 т. — М.: ИЛ , 1949.Физматгиз
, 1966. — 296 с. — (Справочная математическая библиотека).
Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4 .
Олвер Ф. Гл. 9. Функции Бесселя целого порядка // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 177—255. — 832 с. — 50 000 экз. 
![{\displaystyle W\left[H_{\nu }^{(1)}(z),H_{\nu }^{(2)}(z)\right]=-{\frac {4i}{\pi z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59134cf5dc1594687c9c2c35916e16985b4b4d3)
