Числа Каталана

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики.

Последовательность названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана, хотя была известна ещё Леонарду Эйлеру.

Числа Каталана ${\displaystyle C_{n}}$ для ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … (последовательность A000108 в OEIS)

n-е число Каталана ${\displaystyle C_{n}}$ можно определить несколькими эквивалентными способами, такими как^[1]:

• Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
• Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
• Количество
  префиксе
  открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.
  • Например, для n = 3 существует 5 таких последовательностей:

    ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

    то есть ${\displaystyle C_{3}=5}$.

• Количество кортежей ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ из n натуральных чисел, таких, что ${\displaystyle x_{1}=1}$ и ${\displaystyle x_{i}\leqslant x_{i-1}+1}$ при ${\displaystyle 2\leqslant i\leqslant n}$.
• Количество
  бинарных деревьев
  с корнем и n + 1 листьями.
• Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.
• Количество путей Дика из точки(0,0) в точку (n, n).^[2]

• Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

  ${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i}}$ для ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w = (w₁)w₂, где w₁, w₂ — правильные скобочные последовательности.

• Есть ещё одно рекуррентное соотношение:

${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \quad C_{n}={\binom {2n}{n}}-\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\binom {2n-2k-1}{n-k}}}$.

• Ещё одна рекуррентная формула:

${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \left(n+1\right){{C}_{n}}={{4}^{n}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{{4}^{n-k}}{{C}_{k}}}}$. Если положить ${\displaystyle c_{n}={\frac {C_{n}}{4^{n}}}}$, то получается удобная для вычислений рекурсия ${\displaystyle c_{0}=1}$, ${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{2\left(n+1\right)}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{c_{k}}}$.

Отсюда следует: ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\frac {C_{k}}{4^{k}}}=}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{c_{k}}=2}$.

• Также существует более простое рекуррентное соотношение:

  ${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \quad C_{n}={\frac {2(2n-1)}{n+1}}C_{n-1}}$.

• Производящая функция чисел Каталана равна:

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}.}$

• Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:

  ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {1}{2n+1}}{2n+1 \choose n}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n-1}}.}$

Другими словами, число Каталана ${\displaystyle C_{n}}$ равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

• Асимптотически
  ${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}.}$

• Размещение
• Сочетание
• Перестановка

• С. К. Ландо. Лекции по комбинаторике. —
  МЦНМО
  , 1994.
• А. Шень. Разделы 2.6 и 2.7 // Программирование: теоремы и задачи. — M.:
  МЦНМО
  , 2017.
• Stanley, Richard P. (2013), Catalan addendum to Enumerative Combinatorics, Volume 2 (PDF)
• Weisstein, Eric W. Catalan Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.