Число Дотти
Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения
где аргумент измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно .[1]
Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции равна и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение однозначно определяет рассматриваемую константу.
Значения тригонометрических функций
Пусть — число Дотти. Тогда:
Свойства
Число Дотти является нетривиальной
Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.[2]
С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда , где для любого нечётного является рациональным числом, определённым следующим образом:
Первые несколько членов последовательности равны [3][4][5][nb 1]
Формула в Excel
Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2)
.
Происхождение названия
Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.[3]
Сноски
- ↑ Каплан не приводит явного выражения для членов ряда, однако оно мгновенно следует из теоремы Лагранжа об обращении рядов.
Примечания
- ↑ OEIS A003957 . oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
- Eric W. Weisstein. Dottie Number . Дата обращения: 24 апреля 2020. Архивировано18 марта 2020 года.
- ↑ 1 2 Kaplan, Samuel R. The Dottie Number (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 2007. — February (vol. 80). — P. 73. Архивировано 12 ноября 2020 года.
- ↑ OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number. oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
- ↑ A306254 - OEIS . oeis.org. Дата обращения: 22 июля 2019. Архивировано 22 июля 2019 года.
Ссылки
- Т. Миллер (1890) On the numerical values of the roots of the equation cosx = x
- Валерий Салов (2012) Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine
- Mohammad K. Azarian (2008) On the fixed points of a function and the fixed points of its composite functions