Число Понтрягина

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Пусть M есть 4n-мерное гладкое

${\displaystyle \omega =\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\}}$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$

Рациональное число

${\displaystyle P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])}$

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению ${\displaystyle \omega }$, здесь ${\displaystyle p_{i}}$ обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и
    Штифеля — Уитни
    двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются
  сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений
  , определенной на ${\displaystyle H^{n/2}(M)}$, ${\displaystyle n=dimM}$.
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (${\displaystyle {\hat {A}}}$-род) замкнутого спинорного многообразия ${\displaystyle M}$, то есть
  индекс оператора Дирака
  на ${\displaystyle M}$.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (8 июня 2019)