Число с фиксированной запятой

Число с фиксированной запятой (

. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой

${\displaystyle x=x'\cdot z}$,

где z — цена (вес) младшего разряда.

В случае, если ${\displaystyle z<1}$, для удобства расчётов его делают дольным единице, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u (машинную единицу) и принимают ${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$. В случае, если ${\displaystyle z>1}$, его делают целым.

Если не требуется, чтобы какие-либо конкретные дробные числа входили в разрядную сетку, программисты обычно выбирают ${\displaystyle z=2^{-f}}$ — это позволяет использовать в операциях умножения и деления битовые сдвиги. Про такую арифметику говорят: «f битов на дробную часть, i=n−f — на целую» и обозначают как «i,f», «i.f» или «Qi.f» (см. числовой формат Q^[англ.]). Например: арифметика 8,24 отводит на целую часть 8 бит и 24 — на дробную. Соответственно, она способна хранить числа от −128 до 128−z с ценой (весом) младшего разряда ${\displaystyle z=2^{-24}=5{,}96\cdot 10^{-8}}$.

Для угловых величин зачастую делают ${\displaystyle z=2\pi \cdot 2^{-f}}$ (особенно если тригонометрические функции вычисляются по таблице).

Название

Название «фиксированная запятая» (или «фиксированная точка»; далее — ФЗ) произошло из-за простой метафоры: между двумя заранее определёнными разрядами ставится

для превращения целого числа в дробное. Например, целое число 1234 после вставки запятой превращается в дробное 12,34.

В Великобритании, США и других странах вместо запятой для отделения целой части числа от дробной используется точка, поэтому понятия «фиксированная точка» и «фиксированная запятая» эквивалентны.

Применение

Арифметику с фиксированной запятой часто применяют в тех областях, когда использование чисел с плавающей запятой затратно или невозможно ввиду используемой архитектуры процессоров. Например, видеосопроцессоры приставок

.

Кроме того, арифметику с фиксированной запятой используют для обеспечения минимальной поддержки дробных чисел на целочисленном процессоре:

высокого порядка, фиксированной запятой зачастую достаточно — важно только подобрать подходящую цену (вес) младшего разряда для каждой из величин.

Числа с фиксированной запятой используют там, где не нужна высокая точность, но требуется производительность. В большинстве современных процессоров ФЗ аппаратно не реализована, но даже программная ФЗ очень быстра — поэтому она применяется в разного рода игровых движках, растеризаторах

для измерения расстояний использует арифметику Q16.16, для углов — 360°=2³².

Также фиксированную запятую удобно использовать для записи чисел, которые по своей природе имеют постоянную

режим и запись повторов.

Недостатки

Недостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой

 — в 70 порядков.

Реализации

Немногие языки программирования предоставляют встроенную поддержку чисел с фиксированной запятой, поскольку для большинства применений двоичное или десятичное представление чисел с плавающей запятой проще и достаточно точно. Числа с плавающей запятой проще из-за их большего динамического диапазона, для них не нужно предварительно задавать количество цифр после запятой. Если же потребуется арифметика с фиксированной запятой, она может быть реализована программистом на используемом им языке.

Числа с фиксированной запятой в формате

предоставляли оба формата.

Стандарт

эту поддержку.

Практически все

имеет специальный численный тип для точного хранения чисел до 1000 цифр.

Операции

• Сложение и вычитание чисел с фиксированной запятой — это обычные сложение и вычитание: ${\displaystyle (x\pm y)'=x'\pm y'}$.
• Аналогично с умножением и делением на целочисленную константу: ${\displaystyle (cx)'=c\cdot x'}$.
• Умножение и деление отличаются от целочисленных на константу.

  ${\displaystyle (x\cdot y)'=\left[x'\cdot y'\cdot z\right]=\left[{\frac {x'\cdot y'}{u}}\right]}$

  ${\displaystyle \left({\frac {x}{y}}\right)'=\left[{\frac {x'}{z\cdot y'}}\right]=\left[{\frac {x'\cdot u}{y'}}\right]}$,

  где [ ] — операция округления до целого. В частности, если в дробной части f бит:

  ${\displaystyle (x\cdot y)'=(x'\cdot y')\,\operatorname {shr} \,f,\,\,\,\,\left({\frac {x}{y}}\right)'={\frac {x'\,\operatorname {shl} \,f}{y'}}}$.

• Для других операций, помимо обычных рядов Тейлора и итерационных методов, широко применяются вычисления по таблице.

Если операнды и результат имеют разную цену (вес) младшего разряда, формулы более сложны — но иногда такое приходится делать из-за большой разницы в порядке величин.

Для перевода чисел из формата с фиксированной запятой в человекочитаемый формат и наоборот применяются обычные правила перевода дробных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Примечания