Эффект Шубникова — де Хааза (эффект Шубникова — де Гааза) назван в честь советского физика
в металлах и полупроводниках.
Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока. Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе (ДЭГ).
Причина возникновения
Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями
![{\displaystyle E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067f023a7eebaff9db182bb6ea984fbd9ed0eef1)
где
— постоянная Планка,
— циклотронная частота осциллятора Ландау,
— эффективная масса электрона,
— номер уровня Ландау,
— скорость света,.
Плотность состояний ДЭГ
в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей
![{\displaystyle DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c14fb37528b9003b6f1dc9809c87d28578536fc)
Пусть уровень Ферми
зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии
уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода
определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)
![{\displaystyle n_{2DEG}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4bc062a9a68c9d10dcbd426c2fa89874765ac5)
где
— заряд электрона,
— постоянная Планка.
Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.
Двумерный случай
Рассмотрим вырожденный двумерный газ (находящийся на плоскости
) невзаимодействующих (свободных) электронов с эффективной массой
. Сильное магнитное поле
направлено перпендикулярно плоскости и выполнено неравенство
(
— циклотронная частота), то есть энергетический спектр квантован. Температуру
полагаем достаточно низкой, а уширение уровней Ландау за счет рассеяния электронов меньшим, чем расстояние между уровнями
,
— время свободного пробега. В этом случае зависимость компонент тензора электропроводности от магнитного поля имеет вид:
,
,
где
—
.
Осцилляции электропроводности при изменении поля описывается отношением осциллирующей части плотности состояний
к плотности состояний в отсутствие магнитного поля,
:
,
где
— энергия Ферми[2].
Компоненты тензора сопротивления
, обратного тензору проводимости,
, имеют простой вид[2]:
,
.
Приведенные формулы справедливы в случае, когда можно пренебречь зеемановским расщеплением квантовых уровней (
,
— магнетон Бора,
— компонента тензора g—фактора электронов)[3].
Трёхмерный случай
Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа[4]
![{\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08868c4b250cfe7ab8b300bba720012bcd28a7f6)
![{\displaystyle b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a4bdf3813a3108479c7f630b6243b837b71a62)
где
,
— температура Дингля, определённая по столкновительному уширению
уровня как
,
— постоянная Больцмана,
— температура электронного газа,
— множитель Ландэ для электрона (
-фактор),
— масса свободного электрона.
Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа (с учётом рассеяния на акустических фононах) запишется в виде[5]
![{\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{0L}\left(1-\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c353851b18d44b4db85091b581411bf785dd4f3)
![{\displaystyle b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb1e7fe586a779ec74af27816bf1a894919b2bc)
где
(
— деформационный потенциал,
— скорость звука,
— температура).
Произвольный закон дисперсии
При произвольном законе дисперсии электронов проводимости
(
— квазиимпульс) амплитуда и период осцилляций электропроводности зависят от геометрии Ферми поверхности
(
— энергия Ферми).
В отличие от эффекта де Гааза — ван Альфена, в эффекте Шубникова — де Гааза в осцилляционной зависимости компонент тензора электропроводности
(
) от магнитного поля помимо осцилляций плотности состояний (аналогично эффекту де Гааза — ван Альфена) появляются осцилляции, которые связаны с влиянием квантования Ландау на процессы рассеяния[6][7]. Учёт в интеграле столкновений кинетического уравнения квантования энергетического спектра и влияния электрического поля
на энергию электрона, показало, что вклад процессов рассеяния в амплитуду осцилляций Шубникова — де Гааза поперечных компонент
,
(магнитное поле
направлено вдоль оси
) в скрещенных полях (
) является определяющим. Относительная осциллирующая добавка к диагональным компонентам тензора проводимости
в квазиклассическом приближении имеет порядок[7]:
,
где
— плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми;
— циклотронная масса электрона;
— площади экстремальных сечений (
) поверхности Ферми плоскостями
, где
— проекция квазиимпульса электрона на направление магнитного поля;
— осциллирующая часть магнитного момента электронов. Суммирование по индексу
проводится по всем экстремальным сечениям. Согласно теории Лифшица — Косевича[8][9]
![{\displaystyle {{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28218985fc4e94e10541c2a4cb50533ca3840a4a)
где
.
Формула справедлива при выполнении неравенств:
![{\displaystyle T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};\quad {\frac {e\hbar H}{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4eb8b4a72617fb80108392a964b729216ecc74)
где
— объём металла,
,
— температура,
— масса свободного электрона,
— циклотронная частота,
, постоянная Больцмана
.
Период осцилляций по обратному магнитному полю равен:
.
См. также
Литература
- Ridley B. K. Квантовые процессы в полупроводниках = Quantum Processes in semiconductors. — 4-е. — Oxford: Clarendon Press, 1999. — 436 с. — ISBN 0-19-850580-9.
Примечания
- 27 апреля 2022 года.
- ↑ 1 2 Isihara and Smrčka, 1986.
- ↑ S. A. Tarasenko. The Effect of Zeeman Splitting on Shubnikov–De Haas
Oscillations in Two-Dimensional Systems (англ.) // Physics of the Solid State. — 2002. — Vol. 44, no. 9. — P. 1769–1773. — .
- ↑ Ridley, 1999, p. 309.
- ↑ Ridley, 1999, p. 312—313.
- ↑ И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов. Электронная теория металлов : [рус.]. — Москва : Издательство "Наука", 1971. — P. 416.
- ↑ 1 2 А.А. Абрикосов. Основы теории металлов. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2010. — P. 598. — ISBN 978-5-9221-1097-6.
- ↑ И. М. Лифшиц, А. М. Косевич ЖЭТФ,27, 730 (1955).
- ↑ И. М. Лифшиц, А. М. Косевич ДАН СССР, 96, 963—966, (1954).