Ars Magna (Кардано)
Ars Magna | |
---|---|
лат. Artis magnae, sive de regulis algebraicis | |
Автор | Джероламо Кардано |
Язык оригинала | латынь |
Оригинал издан | 1545 |
«Ars Magna» (с
Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико, так как к этому моменту математики уже разработали численные методы для вычисления корней уравнений любой степени с хорошей точностью. Однако книга Кардано была первым трудом математика новой Европы, которая содержала не сводку ранее известных результатов, а открытие нового теоретического метода, неизвестного ни
Формулы Кардано также стали основой для введения одного из важнейших
История
В 1535 году итальянский математик
В 1539 году миланский математик Джероламо Кардано попросил Тарталью раскрыть ему свой метод. После некоторого сопротивления Тарталья согласился, но попросил Кардано ни с кем не делиться этой информацией, пока он сам её не опубликует. В течение следующих нескольких лет, Кардано работал над тем, как распространить формулу Тартальи на другие типы кубических уравнений. Более того, его ученик
Содержание труда
Книга, разделённая на сорок глав, содержит подробное описание способа алгебраического решения
В Ars Magna впервые появляется понятие кратного корня (глава I). Кардано знал о возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня, а также о том, что сумма этих корней равна (по абсолютной величине) коэффициенту при (одна из
делится без остатка на двучлен где — один из корней [8].В начале трактата Кардано объясняет, как привести кубическое уравнение общего вида: к каноническому виду (без члена ). Поскольку в то время отрицательные коэффициенты не признавались, ему пришлось рассмотреть тринадцать различных типов кубических уравнений (главы XI – XXIII). В следующих главах, вплоть до главы XXXVIII, приводятся методы приближённого численного решения кубического уравнения методом хорд[8].
В современной записи формула Кардано для трёх корней уравнения имеет вид:
Кардано, как ранее Тарталья, оставляет открытым вопрос, что делать с кубическим уравнением, для которого из-за чего под знаком квадратного корня получается отрицательное число. Например, в главе I приводится уравнение , для которого Однако Кардано никогда не применял свою формулу в подобных случаях. Парадоксально, но как раз этот, «самый комплексный» случай, соответствует «самому вещественному» набору корней уравнения — все три корня получаются вещественными. Вскоре анализ этой ситуации (названной Casus irreducibilis, «неприводимый случай») привёл к началу легализации нового класса чисел; арифметика комплексных чисел впервые была раскрыта в «Алгебре» Бомбелли (1572) и в трактате Альбера Жирара «Новое открытие в алгебре» (1629)[3].
Ars Magna содержит первое появление в математике комплексных чисел (глава XXXVII), однако оно ещё не было связано с формулами Кардано. Кардано поставил следующую задачу[11]: найти два числа , сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Ответ: Кардано назвал это решение «софистическим», потому что не видел в нём никакого реального смысла, но смело написал «тем не менее, мы будем работать» и формально подсчитал, что их произведение действительно равно 40. Затем Кардано говорит, что этот ответ «столь же тонок, сколь и бесполезен».
Глава XXXIX посвящена уравнениям четвёртой степени, для которых аналогично рассматриваются 20 разновидностей с положительными коэффициентами.
Текст в интернете
- Ars Magna в PDF-формате (лат.)
- Cardano, Gerolamo. Ars magna or The Rules of Algebra. — Dover, 1993. — 308 p. — ISBN 0-486-67811-3. (англ.)
Примечания
- ↑ [[#CITEREFГутер1980|Гутер, 1980]], с. 151.
- ↑ Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — М.: Наука, 1982. — (Библ. «Квант», вып. 14).
- ↑ 1 2 3 История математики, том I, 1970, с. 295—296.
- ↑ Гиндикин, 2001, с. 27—29.
- ↑ Английский перевод, 1993, Предисловие.
- ↑ Гутер, 1980, с. 153—156.
- ↑ MacTutor.
- ↑ 1 2 3 Рыбников, 1960—1963, с. 119—120.
- ↑ Никифоровский, 1979, с. 80.
- ↑ Гутер, 1980, с. 160, 164—165.
- ↑ Никифоровский, 1979, с. 81.
Литература
- Гиндикин С. Г. Великое искусство // Рассказы о физиках и математиках. — издание 3-е, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 8—42. — 448 с. — ISBN 5-900916-83-9.
- Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано. — М.: Творцы науки и техники).
- История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — 352 с.
- Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI—XVII веков. — М.: Наука, 1979. — С. 42—88. — 208 с. — (История науки и техники).
- Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960—1963. — Т. 1.
Ссылки
- Ars magna: Великое искусство . История математики. Дата обращения: 22 апреля 2021.
- Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Girolamo Cardano (англ.) — биография в архиве MacTutor.