Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, ${\displaystyle |\mathbf {A} |=A}$.

Ве́ктор Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца (вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца) — вектор, который используется для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета обращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается

.

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма относительного движения тел может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно

.

В задаче Кеплера существует особенность: конец вектора импульса p всегда движется по окружности

четырёхмерной сфере

${\displaystyle S_{3}}$.

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не был его первооткрывателем. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца переоткрывался несколько раз[9]^[10]. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике^[11]. Для него также нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется символ A. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые будут определены ниже, используется символ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Для одиночной частицы, движущейся под воздействием любой

). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору L, что можно выразить математически с помощью скалярного произведения ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}$[12]^[13].

Как указано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A всегда находится в плоскости движения, то есть равенство ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$ выполняется для любой центральной силы. Он также является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния^[2]. Если центральная сила приближённо зависит от обратного квадрата расстояния, вектор A является почти постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил этот вектор A не постоянен и изменяет как длину, так и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор представляет собой сложную функцию положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях^[14][15].

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, например движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что он менее интуитивно понятен, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия^[9]. Якоб Герман был первым, кто показал, что вектор A сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния^[16][17], и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году^[18]. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия заново открыл сохранение вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники^[19].

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже^[11], и использовал его, чтобы показать, что конец вектора импульса p движется по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3)^[4]. В начале XX столетия Уиллард Гиббс нашёл тот же самый вектор с помощью векторного анализа^[20]. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера^[21], на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом рассмотрении атома водорода^[22].

В 1926 году этот вектор применил Вольфганг Паули для вывода спектра атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера^[3]. После публикации Паули вектор стал известен как вектор Рунге — Ленца^[9].

Компланарные векторы p × L, (mk/r)r и A изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже

. Вектор A является постоянным по направлению и величине

Для одиночной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A определён математически формулой^[2]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \,,}$

где m —

, k — параметр, описывающий величину центральной силы, ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ — единичный вектор, то есть ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$, где r — радиус-вектор положения частицы, и r — его длина.

Поскольку предполагается, что сила консервативная, то полная энергия системы E сохраняется

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}\,.}$

Из центральности силы следует, что вектор углового момента L также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A перпендикулярен вектору углового момента L и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение A ⋅ L = 0 верно, потому что векторы p × L и r перпендикулярны L.

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A применимо для одиночной точечной частицы с массой m, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, это определение может быть применено к задаче двух тел, такой как задача Кеплера, если заменить m на приведённую массу этих двух тел и r на вектор между ними.

теоремы о вписанном угле для круга

следует, что η является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью p_x, p_x = ±p₀.

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A и вектора углового момента L используется в доказательстве того, что конец вектора импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ движется по окружности под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния[4]^[9]. Вычисляя векторное произведение A и L, получается уравнение для p

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} \,.}$

Направляя вектор L вдоль оси z, а главную полуось — вдоль оси x, получаем уравнение

${\displaystyle p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}\,.}$

Другими словами, конец вектора импульса p движется по окружности радиуса mk/L, центр которой расположен в точке с координатами (0, A/L). Эксцентриситет e равен косинусу угла η, показанного на рис. 2. Для краткости вводится переменная ${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$. Круговой годограф полезен для описания симметрии задачи Кеплера.

Семь скалярных величин — энергия E и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца A и момента импульса L — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности A ⋅ L = 0, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше A² = m²k² + 2mEL². Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину A (и эксцентриситет орбиты e) можно определить из полного углового момента L и энергии E, утверждается, что независимо сохраняется только направление A. Кроме того, вектор A должен быть перпендикулярным L — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с d

.

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя

параболических координатах

(ξ,η), которые определяются следующим образом:

${\displaystyle \xi =r+x\,,}$

${\displaystyle \eta =r-x\,,}$

где ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ — радиус в плоскости орбиты. Обратное преобразование этих координат запишется в виде:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )\,,}$

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}\,.}$

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения[25]^[27]:

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta \,,}$

${\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta \,,}$

где β —

. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса p_x и p_y можно показать, что β эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

${\displaystyle \beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}\,.}$

Этот подход Гамильтона — Якоби может быть использован для вывода сохраняющегося обобщённого вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ в присутствии электрического поля E^[25][28]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[(\mathbf {r} \times \mathbf {E} )\times \mathbf {r} \right]\,,}$

где q — заряд обращающейся частицы.

В отличие от

, но другое определение возникает после деления на постоянную mk, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}(\mathbf {v} \times \mathbf {r} \times \mathbf {v} )-\mathbf {\hat {r}} \,,}$

где v — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора e совпадает с направлением A, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить A на m:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }$

или на p₀

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \}\,,}$

который имеет ту же размерность, что и

(вектор L). В редких случаях знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают a, R, F, J и V. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца не влияет на его сохранение.

бинормаль

B, являются взаимно перпендикулярными; A и B указывают соответственно на большую и на малую полуоси эллиптической орбиты в задаче Кеплера

Альтернативный сохраняющийся вектор,

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)(\mathbf {L} \times \mathbf {r} )\,,}$

который сохраняется и направлен вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$ является

бинормаль

, так как он перпендикулярен как A, так и L. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющихся вектора A и B можно объединить в сохраняющийся

двухэлементный тензор

${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \otimes \mathbf {B} \,,}$

где ${\displaystyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение, а α и β — произвольные множители^[14]. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}\,.}$

Векторы A и B ортогональны друг другу, и их можно представить как

. W перпендикулярен L

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha (\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} )\mathbf {A} +\beta (\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} =0\,,}$

поскольку A и B перпендикулярны, то L ⋅ A = L ⋅ B = 0.

Вывод орбит Кеплера

Зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца A, форму и ориентацию орбиты в

. Рассмотрим скалярное произведение векторов A и r (положение планеты)

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-mkr\,,}$

где θ — угол между векторами r и A (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=\mathbf {L} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$, и при помощи несложных преобразований получим определение для

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$

с эксцентриситетом e, заданным по формуле^[2]

${\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {|\mathbf {A} |}{mk}}\,.}$

Приходим к выражению квадрата модуля вектора A в виде^[2]

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}\,,}$

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты^[2]

${\displaystyle e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E\,.}$

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму

.

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила F, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$

для некоторой функции f(r) радиуса r. Поскольку

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ сохраняется под действием центральных сил, то ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$ и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right]\,,}$

где импульс записан в виде ${\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$, и

${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,.}$

Тождество

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$

приводит к уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)\,.}$

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния ${\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$, последнее выражение равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )\,.}$

Таким образом, A сохраняется в этом случае

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-{\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )=0\,.}$

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, который может быть определён для любой центральной силы

), аналогичный вектор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла θ между r и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Во многих практических задачах, таких как планетарное движение, взаимодействие между двумя телами лишь приблизительно обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца A не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал h(r) зависит только от расстояния, то полная энергия E и вектор

, что A вращается со скоростью

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\}\,,}$

где T — период орбитального движения и равенство ${\displaystyle L\,dt=mr^{2}\,d\theta }$ использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния^[29]:

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)\,.}$

Подставив эту функцию в интеграл и использовав уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)\,,}$

чтобы выразить r как функцию θ, вызванная этим возмущением

${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}\,.}$

Она близка по значению к величине прецессии для

.

Теория групп

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\;\mathbf {\dot {q}} ,\;t)}$

вызывает изменение

в первом порядке на величину полной производной по времени

${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,}$

что соответствует сохранению величины

${\displaystyle J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.}$

Эта компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца A_s соответствует вариации координат^[34]

${\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]\,,}$

где i принимает значения 1, 2 и 3, а x_i и ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}}$ — i-е компоненты векторов положения r и скорости ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} }$, соответственно. Функция Лагранжа данной системы

${\displaystyle L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}\,.}$

Получающееся изменение в первом порядке малости для функции Лагранжа запишется как

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)\,.}$

Это приводит к сохранению компоненты A_s

${\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)\,.}$

Существует другой метод вывода сохранения вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей^[35]. Масштабирование координат r и времени t с разной степенью параметра λ (рис. 6)

${\displaystyle t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }$

изменяет полный угловой момент L и энергию E:

${\displaystyle L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}$

— но сохраняет произведение EL². Отсюда следует, что эксцентриситет e и величина A сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$

Направление вектора A также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при масштабировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, то есть полуось a и период T входят в состав сохрагяюзейся величины T²/a³.

Для трёх компонент L_i вектора углового момента L можно определить

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}\,,}$

где индекс i пробегает значения 1, 2, 3 и ${\displaystyle \varepsilon _{ijs}}$ — абсолютно

.

Как показано

угловой момент

, разделив A на p₀. Скобка Пуассона D с вектором углового момента L запишется в похожем виде

${\displaystyle [D_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}\,.}$

Скобка Пуассона D с D зависит от знака E, то есть когда полная энергия E отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}\,.}$

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}\,.}$

Инварианты Казимира

для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений:

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}}\,,}$

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент D и L

${\displaystyle [C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\;D_{i}]=0\,.}$

Величина C₂ равна нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант C₁ нетривиален и зависит только от m, k и E. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см.

с тем же самым квантовым числом l (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца A (как определено

s типа (l = 0) и p типа (l = 1). Такое смешивание нельзя получить обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}\,.}$

В 1935 году

для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна движению свободной частице по четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией 

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}\,.}$

Фок[7] и Баргман^[8] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном^[36][37]. Недавнее исследование Ефимова С. П. показало, что результат В. Фока переносится из искривлённого импульсного пространства в четырёхмерное координатное пространство^[38]. При этом переход от четырёхмерных сферических функций в физическое трёхмерное пространство возникает просто при замене четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус-вектор ${\displaystyle \imath r}$. Найденное координатное пространство оказывается в теории «ближе», чем искривлённое пространство Фока.

Связь между

, которые обозначены ${\displaystyle (w,\;x,\;y,\;z)}$, где ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$ представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Трёхмерный вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ связан с четырёхмерным вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ на четырёхмерной единичной сфере посредством

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} ={\frac {mk-rpp_{0}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} \,,}$

где ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$ — единичный вектор вдоль новой оси w. Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для p. Например, для компоненты x

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$

и аналогично для p_y и p_z. Другими словами, трёхмерный вектор p является стереографической проекцией четырёхмерного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, умноженного на p₀ (рис. 8).

Без потери общности, можно устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая

, с центрами кругов на оси y. Так как движение происходит в плоскости, а p и L ортогональны, p_z = η_z = 0, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})}$. Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, все из которых пересекают ось η_x в этих двух фокусах η_x = ±1, соответствующих фокусам годографа импульса при p_x = ±p₀. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси η_x (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга. Однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение η_w. Эта более высокая симметрия характерна для задачи Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием

можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ и используя эллиптические цилиндрические координаты ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )}$^[41]

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\alpha \,\mathrm {cn} \,\beta \,,}$

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \cos \varphi \,,}$

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \sin \varphi \,,}$

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\alpha \,\mathrm {sn} \,\beta \,,}$

где используются эллиптические функции Якоби: ${\displaystyle \mathrm {sn} }$, ${\displaystyle \mathrm {cn} }$ и ${\displaystyle \mathrm {dn} }$.

Скобки Пуассона дают простой способ для

соответствующих классических переменных, умноженной на ${\displaystyle i\hbar }$

водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр^[3]. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера^[43]

.

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца A заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведениеp и L должно быть определено тщательно[44]. Как правило, операторы в декартовой системе координат A_s определены с помощью симметризованного произведения

${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j})\,,}$

из которого определяются соответствующие

${\displaystyle A_{0}=A_{3}\,,}$

${\displaystyle A_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(A_{1}\pm iA_{2})\,.}$

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I\,,}$

где H⁻¹ — оператор, обратный к оператору энергии (

${\displaystyle |lmn\rangle }$ операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой n²−1. Следовательно, уровни энергии даются выражением

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\,,}$

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис. 9).

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде^[14]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} \,,}$

где ${\displaystyle u=1/r}$ (см.

) и ${\displaystyle \xi =\cos \theta }$, с углом ${\displaystyle \theta }$, определённым как

${\displaystyle \theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}\,.}$

Здесь ${\displaystyle \gamma }$ —

. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали ${\displaystyle \mathbf {B} }$, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}\,.}$

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор W

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}\,.}$

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора^[14]. Для центральной силы

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} \,,}$

вектор

сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно записать в более простом виде:

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \,,}$

однако векторы p и r не ортогональны, как A и B. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца принимает более сложный вид

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\{(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+(mr\omega _{0}A-mrE)\mathbf {\hat {r}} \}\,,}$

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ — частота осциллятора.

• Leach, P.G.L.; G.P. Flessas. Generalisations of the Laplace — Runge — Lenz vector (англ.) // J. Nonlinear Math. Phys.^[англ.] : journal. — 2003. — Vol. 10. — P. 340—423. Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы, отличные от кулоновского. arxiv.org Архивная копия от 12 августа 2020 на Wayback Machine

Эта статья — кандидат к лишению статуса избранной с 28 мая 2024