Выпуклая функция
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Convex_supergraph.svg/220px-Convex_supergraph.svg.png)
Выпуклая функция —
Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют выпуклой вниз. Выпуклой вверх или вогнутой называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции[1].
Понятие имеет важное значение для классического
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/ConvexFunction.svg/220px-ConvexFunction.svg.png)
Определения
Формально, для числовой функции на некотором
- .
Если неравенство Йенсена выполняется в
Если для некоторого выполняется более сильное неравенство:
- ,
то функция называется сильно выпуклой.
Свойства
Функция , выпуклая на интервале , непрерывна на всём ,
Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.
У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.
Непрерывная функция выпукла на тогда и только тогда, когда для всех точек выполняется неравенство:
Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.
Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция строго выпукла на , но её вторая производная в точке равна нулю).
Если функции , выпуклы, то любая их линейная комбинация с положительными коэффициентами , также выпукла.
Примечания
- ↑ Клюшин В. Л.. Высшая математика для экономистов / под ред. И. В. Мартынова. — Учебное издание. — М.: Инфра-М, 2006. — С. 229. — 448 с. — ISBN 5-16-002752-1.
Литература
- Выпуклость и вогнутость : [арх. 13 сентября 2022] / Теляковский С. А. // Восьмеричный путь — Германцы. — М. : Большая российская энциклопедия, 2006. — С. 126-127. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 6). — ISBN 5-85270-335-4.
- Выпуклость и вогнутость // Казахстан. Национальная энциклопедия . — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2004. — Т. I. — ISBN 9965-9389-9-7. (CC BY-SA 3.0)