Неравенство Йенсена

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Пусть функция ${\displaystyle f}$ является выпуклой на некотором интервале ${\displaystyle I}$ и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ (веса) таковы, что

${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}$.

Тогда каковы бы ни были числа ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ из ${\displaystyle I}$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства

:

${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n}),}$

или

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}$.

Замечания:

• Если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам
  Иоган Йенсен
  исходил из более частного условия, отвечающего случаю ${\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}$:

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}$.

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ является выпуклой комбинацией ${\displaystyle n}$ точек ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ плоскости, лежащих на графике функции ${\displaystyle f}$. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции ${\displaystyle f}$, а это и означает, что ${\displaystyle f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}}$.

Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — выпуклая функция, ${\displaystyle \mu }$ —

, а функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \varphi (f)}$ интегрируемы. Тогда^[1]

${\displaystyle \varphi \left(\int f\,d\mu \right)\leqslant \int \varphi (f)\,d\mu .}$

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство, и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая (вниз)

. Тогда если ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, то

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ означает математическое ожидание.

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]}$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

• Пусть ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}}$ — положительные числа, ${\displaystyle p,q>1}$, причём ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$. Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$.

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=\ln x}$ (вогнутая функция). Имеем:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)}$, или ${\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$. Потенцируя, получаем неравенство ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$.

В частности, при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем

)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{\phantom {1}}\!x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x\ln x}$ (выпуклая функция). Имеем:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}}$. Положив ${\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$ и потенцируя, получаем:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}$ (выпуклая функция). Имеем: ${\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}.}$

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}.}$

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера

Литература

• МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5
  .
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (21 июля 2023)