Гомоморфизм

Гомоморфизм (от

Отображение ${\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2}}$ называется гомоморфизмом групп ${\displaystyle (G_{1},*)}$, ${\displaystyle (G_{2},\times )}$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: ${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}$, то есть образ произведения равен произведению образов.

Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
• Ядро гомоморфизма
  • для гомоморфизма
    прообраз
    нуля,
  • для общих групп — прообраз единицы.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
• Биморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
• Изоморфизм
   — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма
• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
• Автоморфизм — изоморфизм на само множество

• Псевдохарактер
• Факторгруппа

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).