Ядро (алгебра)

Ядро в алгебре — характеристика отображения ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$, обозначаемая ${\displaystyle \ker f}$, отражающая отличие ${\displaystyle f}$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента ${\displaystyle e}$. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения ${\displaystyle f}$ множество ${\displaystyle \ker f}$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из ${\displaystyle A}$).

Если множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то ${\displaystyle \ker f}$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки

${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$ и фактормножество ${\displaystyle A/\ker \,f}$.

Ядром линейного отображения ${\displaystyle f\colon V\to U}$ называется прообраз нулевого элемента пространства ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \ker f=\{x\in V\mid f(x)=0\}}$.

${\displaystyle \ker f}$ является подпространством в ${\displaystyle V}$. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства ${\displaystyle V}$. Согласно

, образ ${\displaystyle f}$ изоморфен факторпространству ${\displaystyle V}$ по ядру ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \mathrm {Im} f\simeq V/\ker f}$.

Соответственно,

образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность ${\displaystyle V}$ конечна:

${\displaystyle \dim \mathrm {Im} f=\dim V-\dim \ker f}$,

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

${\displaystyle f^{-1}(u)=v_{0}+\ker f}$, ${\displaystyle f(v_{0})=u}$ (${\displaystyle v_{0}\in V,~u\in U}$).

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Любую прямоугольную матрицу ${\displaystyle G}$ размера ${\displaystyle m\times n}$, содержащую элементы поля ${\displaystyle K}$ (в частности,

), можно рассматривать как линейный оператор ${\displaystyle g:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{m}}$ умножения векторов слева на матрицу:

${\displaystyle g(v)=Gv}$ (${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{n}}$).

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\ldots ~~\ldots ~~\ldots ~~\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}\right.}$

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})}$, а задача о решении однородной системы уравнений (${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$) сводится к поиску ядра отображения ${\displaystyle g}$.

Пусть ${\displaystyle f}$ будет линейным отображением ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ и:

${\displaystyle f({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}}$.

Тогда его ядро является векторным подпространством:

${\displaystyle \ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}}$.

Если ${\displaystyle f}$ — гомоморфизм между группами, то ${\displaystyle \ker f}$ образует нормальную подгруппу ${\displaystyle A}$.

Если ${\displaystyle f}$ — гомоморфизм между кольцами, то ${\displaystyle \ker f}$ образует идеал кольца ${\displaystyle A}$.

• Коядро

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.