Группа Галуа

Гру́ппа Галуа́ —

Пусть поле K является расширением Галуа поля P. Взаимно однозначное отображение ${\displaystyle f}$ поля K на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение — в произведение, то есть если для любых элементов ${\displaystyle a,b}$ поля K справедливы равенства

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).}$

Группой Галуа для данного расширения поля называется группа всех автоморфизмов поля K, сохраняющих элементы поля P: ${\displaystyle \forall a\in P\;f(a)=a}$. Обычно обозначается как G(K, P) или Gal(K, P).

• Группа Галуа
  степени расширения
  [K:P].

• Если расширенное поле совпадает с исходным, то группа Галуа содержит только один элемент: единицу (тождественный автоморфизм).
• Для расширения поля вещественных чисел до поля всех комплексных чисел группа Галуа содержит 2 элемента: единицу и комплексное сопряжение.
• Поле расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$ состоит из чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, где a, b —
  рациональные числа
  . Группа Галуа здесь содержит 2 элемента: единицу и операцию, меняющую знак у 2-го слагаемого с ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Пусть p — простое число. Рассмотрим конечные поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$, первое из них естественным образом вложено во второе. Группа Галуа данного расширения —
  автоморфизмом Фробениуса
  ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$.
• Группа Галуа алгебраического уравнения^[1].

Рассмотрим алгебраическое уравнение четвёртой степени ${\displaystyle P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}$. Оно допускает следующие преобразования переменной x: ${\displaystyle y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$. Для ${\displaystyle y=1/x}$ следует ${\displaystyle y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x^{4}}$, то есть ${\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4}}$. Поэтому из ${\displaystyle P(x)=0}$ следует, что ${\displaystyle P(y)=0}$. Это означает, что уравнение ${\displaystyle P(x)=0}$ допускает преобразование ${\displaystyle y=1/x}$.

Для ${\displaystyle y=x^{2}}$ получается ${\displaystyle P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}$. Деление этого уравнения на исходное ${\displaystyle P(x)}$ даёт ${\displaystyle P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)}$. Таким образом, преобразование ${\displaystyle y=x^{2}}$ также допускается уравнением ${\displaystyle P(x)}$.

Подобным же образом для преобразования ${\displaystyle y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ можно получить следующую формулу преобразования: ${\displaystyle P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2}+x+1)P(x)}$.

Докажем теперь, что уравнение ${\displaystyle P(x)}$ допускает бесконечную группу преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$, где ${\displaystyle n}$ принимает все целые (положительные и отрицательные) значения, не кратные пяти. Для начала рассмотрим подстановку ${\displaystyle x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$. Из этого равенства следует, что ${\displaystyle x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}=x\cdot x^{5}=x}$, ..., ${\displaystyle x^{n}=x^{n-5}}$ . Для доказательства того, что уравнение ${\displaystyle P(x)}$ допускает бесконечную группу преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ при ${\displaystyle 5\!\ \nmid n}$ , достаточно показать, что допускается преобразование ${\displaystyle y=x^{3}}$. Для этого преобразования имеем: ${\displaystyle P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^{3}+1=0}$. Отрицательные целые значения ${\displaystyle n}$ получаются применением преобразования ${\displaystyle y=1/x}$. Нетрудно доказать, что полученные преобразования образуют группу.

Построенная группа преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ переводит каждый корень уравнения ${\displaystyle P(x)}$ в корень того же уравнения. Проследим теперь, как именно преобразуется каждый корень уравнения ${\displaystyle P(x)}$ под влиянием этой группы преобразований. Из курса алгебры известно, что корнями уравнения ${\displaystyle P(x)}$ являются числа ${\displaystyle x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e^{2\pi i/5}}$. Преобразование ${\displaystyle y=x^{2}}$ переводит корень ${\displaystyle x_{1}}$ в ${\displaystyle x_{2}}$, корень ${\displaystyle x_{2}}$ в ${\displaystyle x_{4}}$, корень ${\displaystyle x_{3}}$ в ${\displaystyle x_{1}}$, корень ${\displaystyle x_{4}}$ в ${\displaystyle x_{3}}$. Полученная подстановка обозначается ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})}$. Подобным образом можно показать, что преобразование ${\displaystyle y=x^{3}}$ приводит к подстановке ${\displaystyle (x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})}$. Преобразование ${\displaystyle y=x^{-1}}$ приводит к подстановке ${\displaystyle (x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}$. Остальные преобразования новых подстановок не дают.

Таким образом, группа преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ корней уравнения ${\displaystyle P(x)}$ индуцирует конечную группу порядка четыре, состоящую из следующих элементов: ${\displaystyle 1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}$. Эта конечная группа называется группой Галуа уравнения ${\displaystyle P(x)}$.

• Пусть ${\displaystyle K_{n}}$ — поле деления круга степени n. Группа Галуа кругового расширения ${\displaystyle K_{n}/Q}$ изоморфна мультипликативной группе ${\displaystyle Z_{n}^{*}}$
  кольца вычетов
  по модулю n.

Рассмотрим цепочку последовательных расширений полей: ${\displaystyle L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.}$ Построим группу Галуа для полей, крайних в цепочке: ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L_{n},L_{1}).}$ Согласно основной теореме теории Галуа, каждому промежуточному полю ${\displaystyle L_{k}}$ в цепочке расширений соответствует подгруппа ${\displaystyle G_{k}}$ группы G, то есть цепочке расширений полей можно сопоставить цепочку вложенных подгрупп, которая сужается от G до тривиальной подгруппы. Если рассматривать сразу все промежуточные поля (то есть поля вида ${\displaystyle L_{1}\subset X\subset L_{n}}$), данное соответствие является биекцией из множества промежуточных полей в множество подгрупп группы Галуа. При этом подгруппы, соответствующие нормальным расширениям, являются нормальными подгруппами G, и обратно.

Это соответствие позволяет исследовать конечные расширения полей при помощи теории групп. Например, из него сразу следует, что число промежуточных полей для заданного нормального расширения всегда конечно (как число подгрупп в конечной группе).

Основным полем алгебраического уравнения называется совокупность чисел, которые можно получить из коэффициентов этого уравнения при помощи операций сложения, вычитания, умножения и деления. Полем разложения называется совокупность чисел, которые можно получить с помощью конечного числа тех же операций, исходя из коэффициентов и корней уравнения. Основное поле в общем случае составляет лишь подполе поля разложения.

Принято группу Галуа, образуемую

• Артин Э. Теория Галуа. — М.: МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-062-2.
• Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Наука, 1963. — 220 с.