Поле (алгебра)
По́ле в
Поле — основной предмет изучения
История
В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.
Явное определение понятия поля относят к
Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в
Формальные определения
Формально, поле — алгебра над множеством , образующая коммутативную группу по сложению над с нейтральным элементом и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения. Подразумевается также применимость операции к нулевому элементу по сложению с сохранением свойства дистрибутивности на всём множестве .
Если раскрыть определение, то множество с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения и умножения (, то есть ) называется полем , если выполнены следующие аксиомы:
- Коммутативность сложения: .
- Ассоциативность сложения: .
- Существование нулевого элемента: .
- Существование противоположного элемента: .
- Коммутативность умножения: .
- Ассоциативность умножения: .
- Существование единичного элемента: .
- Существование обратного элемента для ненулевых элементов: .
- Дистрибутивность умножения относительно сложения: .
Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению над ; аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению над ; аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.
Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.
Все описанные выше аксиомы, за исключением коммутативности умножения, также соответствуют определению тела.
В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:
- Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля.
Связанные определения
Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.
Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение , такое что , и . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.
Характеристика поля — то же, что и
Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.
Свойства
- Характеристика поля всегда или простое число.
- Поле характеристики содержит подполе, рациональных чисел.
- Поле простой характеристики содержит подполе, изоморфное полю вычетов .
- Поле характеристики содержит подполе,
- Количество элементов в конечном поле всегда равно — степени простого числа.
- При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .
- При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до
- В поле нет делителей нуля.
- Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля изоморфна .
- С точки зрения собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно, простом) идеале; а значит, спектр этого кольца содержит как минимум две точки.
Примеры полей
Поля характеристики, равной 0
- — рациональные числа,
- — вещественные числа,
- — комплексные числа,
- — алгебраические числанад полем рациональных чисел (подполе в поле ).
- Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в .
- — поле рациональных функций вида , где и — многочлены над некоторым полем характеристики 0 (при этом , а и не имеют общих делителей, кроме констант).
Поля ненулевой характеристики
Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:
- — поле вычетовпо модулю , где — простое число.
- — конечное поле из элементов, где — простое число, — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.
Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.
См. также
Примечания
- ↑ Лев Дмитриевич Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1.
- ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) . Дата обращения: 28 сентября 2019. Архивировано 24 января 2021 года.
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
- P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
- Galois, Évariste. Sur la théorie des nombres (неопр.) // Bulletin des Sciences mathématiques. — 1830. — Т. XIII. — С. 428.
- Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Field (mathematics) (англ.). |