Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке ${\displaystyle (a,\;b)}$ уравнения Штурма — Лиувилля

${\displaystyle L[y]=\lambda \rho (x)y(x),}$

удовлетворяющих однородным

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}}$

и значений параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых такие решения существуют.

Оператор ${\displaystyle L[y]}$ здесь — это действующий на функцию ${\displaystyle y(x)}$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

${\displaystyle L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)}$

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), ${\displaystyle x}$ — вещественный аргумент.

Функции ${\displaystyle p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)}$ предполагаются непрерывными на ${\displaystyle (a,\;b)}$, кроме того функции ${\displaystyle p(x),\;\rho (x)}$ положительны на ${\displaystyle (a,\;b)}$.

Искомые нетривиальные решения называются

этой задачи, а значения ${\displaystyle \lambda }$, при которых такое решение существует — её (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи

Вид уравнения

Если функции ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle p}$ дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и функция ${\displaystyle q}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,\;b]}$, то уравнение Штурма — Лиувилля вида

${\displaystyle (p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0}$

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду^[1][2]

${\displaystyle -y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)}$

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию ${\displaystyle q_{1}(x)}$ называют потенциалом^[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, ${\displaystyle L}$ (суммируемыми), ${\displaystyle L_{2}}$ и других.

Виды краевых условий

• Условия Дирихле ${\displaystyle y(a)=y(b)=0.}$
• Условия Неймана ${\displaystyle y'(a)=y'(b)=0}$
• Условия Робена ${\displaystyle y'(a)-hy(a)=0,\quad y'(b)+Hy(b)=0.}$
• Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка ${\displaystyle [a,\;b]}$.
• Распадающиеся краевые условия общего вида

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0.\\\end{array}}}$

• Периодические условия ${\displaystyle y(a)=y(b),\quad y'(a)=y'(b)}$.
• Антипериодические условия ${\displaystyle y(a)=-y(b),\quad y'(a)=-y'(b)}$.
• Общие краевые условия

${\displaystyle a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\;2.}$

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты ${\displaystyle a_{ij}}$.^[3][5]

Для удобства произвольный отрезок ${\displaystyle [a,\;b]}$ часто переводят в отрезок ${\displaystyle [0,\;l]}$ или ${\displaystyle [0,\;\pi ]}$ с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

Оператор Штурма — Лиувилля

${\displaystyle Ly=-{\frac {1}{\rho (x)}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {d}{dx}}y\right]-q(x)y{\Bigr )}}$

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора^[6]

${\displaystyle p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.}$

оператора ${\displaystyle L}$ состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ функций ${\displaystyle y}$, удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора ${\displaystyle L}$: ${\displaystyle Ly=\lambda y}$. Если функции ${\displaystyle p,\ q,\ \rho }$ и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор ${\displaystyle L}$ является ${\displaystyle L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)}$. Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом ${\displaystyle \rho (x)}$.

Решение задачи

Пример

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

${\displaystyle -y''=\lambda y,\qquad (2)}$

${\displaystyle y(0)=y(l)=0}$

может быть найдено в явном виде^[7]. Пусть ${\displaystyle \lambda =\rho ^{2}}$. Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном ${\displaystyle \lambda }$ имеет вид

${\displaystyle y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)}$

(в частности, при ${\displaystyle \rho =0}$ (3) дает ${\displaystyle y(x)=Ax+B}$). Из ${\displaystyle y(0)=0}$ следует ${\displaystyle B=0}$. Подставляя (3) в краевое условие ${\displaystyle y(l)=0}$, получаем ${\displaystyle A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0}$. Так как мы ищем нетривиальные решения, то ${\displaystyle A\neq 0}$, и мы приходим к уравнению на собственные значения

${\displaystyle {\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.}$

Его корни ${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\pi n}{l}}}$, следовательно, искомые собственные значения имеют вид

${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }$

а соответствующие им собственные функции суть

${\displaystyle y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }$

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

${\displaystyle -y''+q(x)y=\lambda y\qquad (4)}$

представимо в виде линейной комбинации

${\displaystyle y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)}$

его решений ${\displaystyle S(x,\;\lambda )}$ и ${\displaystyle C(x,\;\lambda )}$, удовлетворяющих начальным условиям

${\displaystyle S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1}$.

Решения ${\displaystyle S(x,\;\lambda )}$ и ${\displaystyle C(x,\;\lambda )}$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по ${\displaystyle \lambda }$ при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$. (При ${\displaystyle q(x)\equiv 0}$ ${\displaystyle S(x,\;\lambda )=\sin \rho x}$, ${\displaystyle C(x,\;\lambda )=\cos \rho x}$, ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\lambda }}}$). Подставляя (5) в краевые условия ${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$, получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

${\displaystyle \Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),}$

аналитической во всей ${\displaystyle \lambda }$-плоскости.^[4]

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}_{n}=n+{\frac {c}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),\quad c={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }q(\tau )\,d\tau ,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

(в случае непрерывного на ${\displaystyle [0,\;\pi ]}$ потенциала ${\displaystyle q(x)}$).^[8] При больших ${\displaystyle n}$ собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

• Существует бесконечное
  счетное множество
  собственных значений: ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots }$
• Каждому собственному значению ${\displaystyle \lambda _{n}}$ соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция ${\displaystyle y_{n}}$.
• Все собственные значения вещественны.
• В случае граничных условий ${\displaystyle y(a)=y(b)=0}$ и при выполнении условия ${\displaystyle q(x)\geqslant 0}$ все собственные значения положительны ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$.
• Собственные функции ${\displaystyle y_{n}(x)}$ образуют на ${\displaystyle [a,\;b]}$ ортогональную с весом ${\displaystyle \rho (x)}$ систему ${\displaystyle \{y_{n}(x)\}}$:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.}$

• Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решения

• Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле ${\displaystyle y(a)=y(b)=0}$, можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями ${\displaystyle u(a)=0}$, ${\displaystyle u'(a)=\lambda }$ и вести пристрелку параметра ${\displaystyle \lambda }$ до выполнения правого краевого условия.^[9]
• Метод конечных разностей^[10][11]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
• Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\}}$ дополняется компонентой ${\displaystyle y_{N+1}=\lambda }$. Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.^[12]
• Метод Галёркина.^[13]
• Вариационные методы.^[14]

Применение к решению уравнений в частных производных

Основная статья:

Метод Фурье

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении

.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для

уравнения гиперболического типа

:

${\displaystyle \rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)}$

${\displaystyle (h_{1}u_{x}-hu)_{|x=0}=0,\quad (H_{1}u_{x}+Hu)_{|x=l}=0,\qquad (7)}$

${\displaystyle u_{|t=0}=\Phi (x),\quad u_{t|t=0}=\Psi (x).\qquad (8)}$

Здесь ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ — независимые переменные, ${\displaystyle u(x,\;t)}$ — неизвестная функция, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle \Psi }$ — известные функции, ${\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1}}$ — вещественные числа.^[15] Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

${\displaystyle u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)}$

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

${\displaystyle {\frac {(k(x)Y'(x))'-q(x)Y(x)}{\rho (x)Y(x)}}={\frac {T''(t)}{T(t)}}.}$

Так как ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через ${\displaystyle -\lambda }$. Получаем

${\displaystyle T''(t)+\lambda T(t)=0,\qquad (10)}$

${\displaystyle -(k(x)Y'(x))'+q(x)Y(x)=\lambda \rho (x)Y(x),\quad 0<x<l.\qquad (11)}$

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

${\displaystyle h_{1}Y'(0)-hY(0)=0,\quad H_{1}Y'(l)+HY(l)=0.\qquad (12)}$

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях ${\displaystyle \lambda }$, являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) ${\displaystyle \lambda _{n}}$. Эти решения имеют вид ${\displaystyle T_{n}(t)Y_{n}(x)}$, где ${\displaystyle Y_{n}(x)}$ — собственные функции задачи (11) — (12), ${\displaystyle T_{n}(t)}$ — решения уравнения (10) при ${\displaystyle \lambda =\lambda _{n}}$. Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля ${\displaystyle Y_{n}(x)}$):

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)Y_{n}(x).}$

Обратные задачи Штурма — Лиувилля

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала ${\displaystyle q(x)}$ оператора Штурма — Лиувилля ${\displaystyle -y''+q(x)y}$ и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.

), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси (${\displaystyle -\infty <x<\infty }$).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве ${\displaystyle L_{2}}$.
3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал ${\displaystyle q(x)}$. Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.^[4]

См. также

• Краевая задача
• Собственный вектор
• Дифференциальный оператор
• Метод разделения переменных

Примечания

Литература

• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0
  .
• Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
• Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5
  .
• Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
• Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
• Наймарк М. А.
  Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
• Калиткин Н. Н.
  Численные методы. — М.: Наука, 1978.