Знакочередующийся ряд натуральных чисел
Знакочередующийся ряд натуральных чисел —
- .
Такой
Математический аппарат, позволяющий интерпретировать это выражение, был разработан гораздо позже. Начиная с
Знакочередующийся натуральный ряд тесно связан с
Расходимость
Члены последовательности (1, −2, 3, −4, …) не стремятся к
- 1 = 1,
- 1 − 2 = −1,
- 1 − 2 + 3 = 2,
- 1 − 2 + 3 − 4 = −2,
- 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
- 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
- …
Эта последовательность примечательна тем, что в ней присутствует каждое
Эвристика для суммирования
Стабильность и линейность
Поскольку члены 1, −2, 3, −4, 5, −6, … подчиняются простой закономерности, знакочередующийся натуральный ряд можно преобразовать сдвигом и почленным сложением с целью приписать ему некоторое числовое значение. Если выражение s = 1 − 2 + 3 − 4 + … для какого-то обычного числа s имеет смысл, то следующее формальное преобразование позволяет утверждать, что его значение в некотором смысле равно s = 1⁄4:[1]:6.
Поэтому . Справа этот вывод проиллюстрирован графически.
Несмотря на то, что знакочередующийся натуральный ряд расходится и не имеет суммы в обычном смысле, выражение s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 даёт естественный ответ, если такая сумма может быть определена.
такой метод даст и сумму для ряда Гранди, которая будет равна 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1⁄2.
Произведение Коши
В 1891 году
и утверждают, что обе стороны равны .»[3]:130. Для Чезаро это выражение было применением теоремы, опубликованной им годом ранее, и которую можно считать первой теоремой в истории суммируемых расходящихся рядов. Детали этого метода суммирования изложены ниже; основная идея состоит в том, что является произведением Коши на .
Произведение Коши для двух бесконечных последовательностей определено, даже если они обе расходятся. В случае, когда
члены произведения Коши получаются из конечной диагональной суммы:
И тогда результирующая последовательность:
Поэтому метод суммирования, который сохраняет произведение Коши, и даёт сумму
также даст сумму
С использованием результатов, полученных в предыдущей секции, из этого вытекает эквивалентность суммируемости и при использовании методов суммирования, являющихся линейными, стабильными и сохраняющих произведение Коши.
Теорема Чезаро — это только пример. Ряд
является суммируемым по Чезаро в слабом смысле, и называется -суммируемым, в то время как
требует более сильной формы теоремы Чезаро[1]:3[4]:52-55 и называется -суммируемым. Поскольку все формы метода суммирования по Чезаро являются линейными и стабильными, значения сумм соответствуют вычисленным выше.
Частные методы
Метод Чезаро и Гёльдера
Чтобы найти
- 1, −1, 2, −2, 3, −3, …,
и их среднее арифметическое составляет:
- 1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, ….
Последовательность не сходится, поэтому 1 − 2 + 3 − 4 + … не является суммируемой по Чезаро.
Есть два широко известных обобщения суммирования методом Чезаро: концептуально более простое среди них является последовательностью методов (H, n) для
«H» — это сокращение от фамилии Отто Гёльдера, который в 1882 году доказал первым то, что сейчас математики расценивают как связь между суммированием методом Абеля и суммированием(H, n); ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … использовался им в качестве первого примера.[3]:118[5]:10 Тот факт, что 1⁄4 является суммой (H, 2) последовательности 1 − 2 + 3 − 4 + … гарантирует, что это также и абелева сумма; это будет непосредственно доказано ниже.
Другое часто формулируемое обобщение суммирования методом Чезаро — это последовательность методов (C, n). Было доказано, что суммирование (C, n) и (H, n) дают одинаковые результаты, но имеют разную историю. В 1887 году Чезаро близко подошёл к тому, чтобы дать определение суммированию (C, n), но ограничился приведением нескольких примеров. В частности, он получил сумму 1⁄4 для 1 − 2 + 3 − 4 + …, методом, который может быть переформулирован как (C, n), но не воспринимался таковым в своё время. Он формально определил методы (C, n) в 1890 году, для формулирования своей теоремы, гласящей что произведение Коши (C, n)-суммируемого и (C, m)-суммируемого рядов являются (C, m + n + 1)-суммируемыми.[3]:123-128
Суммирование по Абелю
В отчёте 1749 года Эйлер признавал, что ряд расходится, но всё равно планировал найти его сумму:
…когда было сказано, что сумма ряда 1−2+3−4+5−6 и т. д. составляет 1⁄4, это должно было показаться парадоксальным. Складывая 100 членов этого ряда, мы получаем −50, однако сумма 101 члена даёт +51, что очень сильно отличается от 1⁄4 и отличается ещё сильнее с увеличением числа членов. Но я уже раньше замечал, что необходимо дать слову sum более широкое значение….[6]:2
Эйлер предлагал обобщение понятия «сумма ряда» несколько раз. В случае для 1 − 2 + 3 − 4 + …, его идеи похожи на то, что сейчас называется методом суммирования Абеля:
…более нет сомнений, что сумма ряда 1−2+3−4+5 + и т. д. — 1⁄4; поскольку это вытекает из раскрытия формулы 1⁄(1+1)2, значение которой, несомненно, 1⁄4. Идея становится понятнее при рассмотрении обобщённого ряда 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x4 − 6x5 + &c. возникающего при раскрытии выражения 1⁄(1+x)2, которому этот ряд будет эквивалентен после того как мы присвоим x = 1.[6]:3, 25
Есть много способов увидеть, что как минимум для
Можно раскрыть правую часть по
С современной точки зрения, последовательность 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … не определяет
Эйлер и Борель
Эйлер применил к последовательностям другой подход: преобразование Эйлера, одно из своих изобретений. Чтобы вычислить преобразование Эйлера, начинают с последовательности положительных членов — в данном случае 1, 2, 3, 4, …. Первый член этой последовательности обозначен a0.
Далее нужно получить последовательность конечных разностей среди 1, 2, 3, 4, …; это просто 1, 1, 1, 1, …. Первый элемент этой новой последовательности обозначается Δa0. Преобразование Эйлера также зависит от разности разностей и более высоких итераций, но все разности среди 1, 1, 1, 1, ... равны 0. В таком случае преобразование Эйлера для 1 − 2 + 3 − 4 + … определяется следующим образом:
В современной терминологии, 1 − 2 + 3 − 4 + … называется суммируемым по Эйлеру, с суммой равной 1⁄4.
Суммируемость по Эйлеру также предполагает ещё один вид суммируемости. Представляя 1 − 2 + 3 − 4 + … как
получается сходящийся в каждой точке ряд:
Таким образом, борелева сумма ряда 1 − 2 + 3 − 4 + … составляет[4]:59:
Разделение шкал
Саичев и Войчыньский пришли к значению 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4, применяя два физических принципа: отбрасывание бесконечно малых и разделение шкал. Точнее, эти принципы помогли им сформулировать широкое семейство «методов φ-суммирования», все из которых дают сумму 1⁄4:
- Если φ(x) — это функция, первая и вторая производная которой непрерывно интегрируема на (0, ∞), такая что φ(0) = 1 и пределы φ(x) и xφ(x) при стремлении к +∞ оба равны нулю, то[9]:260-264:
Этот результат является обобщением абелева суммирования которое получается заменой φ(x) = exp(−x). Общее утверждение может быть доказано при помощи группирования по парам членов ряда по m и преобразовывая выражение в интеграл Римана. Относительно последнего шага, в соответствующем доказательстве для 1 − 1 + 1 − 1 + … применяется теорема Лагранжа о среднем значении, но здесь требуется более сильная форма Лагранжа теоремы Тейлора.
Обобщения ряда
Трёхкратное произведение Коши для ряда 1 − 1 + 1 − 1 + … даёт ряд 1 − 3 + 6 − 10 + …, — знакочередующийся ряд из треугольных чисел, его абелева и эйлерова суммы равны 1⁄8.[10]:313 Четырёхкратное произведение Коши ряда 1 − 1 + 1 − 1 + … даёт ряд 1 − 4 + 10 − 20 + …, — знакочередующийся ряд из тетраэдральных чисел, абелева сумма которого равна 1⁄16.
Другое обобщение ряда 1 − 2 + 3 − 4 + … возможно в несколько другом направлении: это семейство рядов 1 − 2n + 3n − 4n + … для других значений n. При положительных n подобный ряд имеет следующую абелеву сумму:
где Bn — числа Бернулли. Для чётных n это сводится к
Последняя сумма стала объектом насмешек со стороны Нильса Абеля в 1826:
«Расходящиеся ряды — это всецело работа дьявола, и стыд тому, кто пытается найти какие-либо доказательства относительно них. Можно получить из них, что захочешь, и это они породили так много горя и парадоксов. Можно ли представить что-либо более ужасное, чем сказать, что
- 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + и т. д.
где n — положительное число. Здесь есть над чем посмеяться, друзья.»[11]:80
Учитель Чезаро, Эжен Каталан, также пренебрежительно относился к расходящимся рядам. Под влиянием Каталана Чезаро изначально характеризовал «условные формулы» для ряда 1 − 2n + 3n − 4n + ... как «абсурдные выражения», и в 1883 Чезаро выражал общепринятый взгляд, что эти формулы ошибочны, но могут в чём-то быть формально полезны. Наконец, в своей работе Sur la multiplication des séries 1890 года Чезаро пришёл к современному подходу, начиная с определений[3]:120-128.
Ряды были также исследованы для нецелых значений n; они дают
Примечания
- ↑ Hardy, G.H. Divergent Series (англ.). — Oxford University Press, 1949.:
- ↑ Beals, Richard. Analysis: an introduction (неопр.). — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0-521-60047-2.
- ↑ .
- ↑ 1 2 3 Weidlich, John E. Summability methods for divergent series (неопр.). — Stanford M.S. theses, 1950.
- .
- ↑ 1 2 3 4 Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series . The Euler Archive (2006). Дата обращения: 22 марта 2007. Архивировано 10 июля 2012 года. ; Работа была написана в 1749 году, но изначально издана только в 1968-м: Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (фр.) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin : magazine. — 1768. — Vol. 17. — P. 83—106.
- ↑ Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite (неопр.). — Harvard University Press, 1994. — ISBN 0-674-92096-1.
- ↑ Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications (неопр.). — Springer, 2003. — ISBN 0-387-00836-5.
- ↑ Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1 (англ.). — Birkhaüser, 1996. — ISBN 0-8176-3924-1.
- 21 августа 2019 года.
- MIT Press, 1970. — ISBN 0-262-07034-0.