Интеграл Римана
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/RiemannInt.png/250px-RiemannInt.png)
Интегра́л Ри́мана — наиболее широко используемый вид определённого интеграла. Очень часто под термином «определённый интеграл» понимается именно интеграл Римана, и он изучается самым первым из всех определённых интегралов во всех курсах математического анализа.[1] Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.[2]
Неформальное описание
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Riemann_sum_%28middlebox%29.gif/220px-Riemann_sum_%28middlebox%29.gif)
Интеграл Римана есть формализация понятия площади под графиком. Разобьём отрезок, над которым мы ищем площадь, на конечное число подотрезков. На каждом из подотрезков выберем некоторую точку графика и построим вертикальный прямоугольник с подотрезком в качестве основания до той самой точки графика. Рассмотрим фигуру, полученную из таких прямоугольников. Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами будет задаваться суммой:
Интуитивно понятно, что если мы будем уменьшать длины этих подотрезков, то площадь такой фигуры будет всё больше и больше приближаться к площади под графиком. Именно это замечание и приводит к определению интеграла Римана.[3]
Определение
Классическое определение
Пусть на отрезке определена
Для определения интеграла прежде всего необходимо сначала определить понятие разбиения отрезка и остальные связанные с ним определения.
Разбиением (неразмеченным) отрезка назовём конечное множество точек отрезка , в которое входят точки и . Как видно из определения, в разбиение всегда входят хотя бы две точки. Точки разбиения можно расположить по возрастанию: . Множество всех разбиений отрезка будем обозначать .
Точки разбиения, между которыми нет других точек разбиения, называются соседними. Отрезок, концами которого являются соседние точки разбиения, называется частичным отрезком разбиения. Такие отрезки обозначим . Длину частичного отрезка разбиения обозначим за . Длина наибольшего из отрезков называется диаметром разбиения. Для разбиения его диаметр обозначим как .
Разметкой разбиения называется конечное упорядоченное множество такое, что . Множество всех разметок разбиения будем обозначать как .
Размеченным разбиением называется упорядоченная пара , где — неразмеченное разбиение, — некоторая разметка . Множество всех размеченных разбиений отрезка будем обозначать как .
После всех этих определений можно приступить к непосредственному определению интеграла Римана.
Пусть задано некоторое размеченное разбиение . Интегральной суммой Римана функции на размеченном разбиении называется . Интегралом Римана будет предел этих сумм при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. Однако здесь есть одна тонкость: это предел от функции с отмеченными разбиениями в качестве аргументов, а не числами, и обычное понятие предела при стремлении к точке здесь неприменимо. Необходимо дать формальное описание того, что же мы имеем в виду под фразой «предел при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю»
Пусть — функция, ставящая в соответствие размеченному разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если
Обозначение:
Такой предел является частным случаем
Наконец, мы можем дать определение интеграла Римана. Интегралом Римана функции в пределах от до называется предел интегральных сумм Римана функции на размеченных разбиениях отрезка при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. С использованием обозначения интеграла это записывается так:
Интеграл Римана также определяется для случая . Для он определяется как
Для как
Через интегралы Дарбу
Интеграл Римана можно определить альтернативным способом через интегралы Дарбу. Обычно такое определение доказывается как свойство, а теорема об их эквивалентности называется теоремой Дарбу. Преимущества такого определения в том, что оно позволяет обойтись без понятия размеченного разбиения, предела по разбиению и даёт более наглядный взгляд на понятие интегрируемости.
Для неразмеченного разбиения обозначим за точную нижнюю грань функции на отрезке , за — точную верхнюю грань.
Нижней суммой Дарбу называется .
Верхней суммой Дарбу называется .[5]
Нижним интегралом Дарбу называется .
Верхним интегралом Дарбу называется .[6]
Интегралы Дарбу существуют для любой ограниченной на отрезке интегрирования функции. Если интегралы Дарбу совпадают и конечны, то функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , а само это число — интегралом Римана.[7]
Интеграл Дарбу может быть определён также через предел по неразмеченным разбиениям, при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. Предел по неразмеченным разбиениям определяется аналогично пределу по размеченным, но мы дадим формализацию и этого понятия тоже. Пусть — функция, ставящая в соответствие неразмеченному разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если
Обозначение: [8]
Такой предел также является частным случаем предела по базе. Базой здесь будет множество , где .[9] Тогда:
Нижним интегралом Дарбу называется .
Верхним интегралом Дарбу называется .[10]
Интегрируемые функции
Функция, для которой интеграл Римана в пределах от до существует (если предел равен бесконечности, то считается, что интеграл не существует), называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b].[11] Множество функций , интегрируемых на отрезке , называется множеством интегрируемых на функций и обозначается .
Основным и наиболее удобным условием интегрируемости является критерий Лебега: множество интегрируемых на отрезке функций это в точности множество ограниченных и непрерывных почти всюду на этом отрезке функций. Этот критерий позволяет практически сразу получить большинство достаточных условий интегрируемости. Однако доказательство данного утверждения довольно сложное, из-за чего при методическом изложении его часто опускают и основывают дальнейшие доказательства на критерии Римана. Доказательства существования интеграла Римана на основе критерия Римана получаются сложнее, чем на основе критерия Лебега.
Критерии интегрируемости
- Критерий Коши. Функция интегрируема по Риману на отрезке , если
- [12]
- Данный критерий есть не что иное, как запись критерия Коши сходимости по базе для случая интеграла Римана.
- Критерий Дарбу. Функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и только тогда, когда верхний интеграл Дарбу совпадает с нижним и конечен.[13]
- На этом критерии основывается альтернативное определение интеграла Римана.
- Критерий Римана. Определим колебание функции на множестве как .[14]
- Тогда -суммой функции на разбиении называется .[15][16]
- Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и предел -сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю равен .[17]
- Инфимум-критерий Римана. Есть также вариация критерия Римана с использованием понятия точной грани, а не предела: функция интегрируема тогда и только тогда, когда .[18][19]
- Специальный критерий Римана. На самом деле в критерии Римана можно потребовать более слабые условия.
- Обозначим за разбиение отрезка на равных сегментов. Функция интегрируема на этом отрезке тогда и только тогда, когда последовательность стремится к нулю.[20]
- Специальный инфинум-критерий Римана. Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .[21]
- Критерий Дюбуа-Реймона. Определим колебание функции в точке как точную нижнюю грань значения колебаний функции в окрестности этой точки (если область определения функции не включает полную окрестность точки, то тогда рассматриваются только те точки окрестности, которые входят в область определения).
- [14]
- По сути колебание функции в точке представляет собой отличие функции от непрерывной. В точке непрерывности оно равно , в точке разрыва оно больше .
- Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и для любых множество всех точек в котором имеет нулевую меру Жордана (то есть для любого может быть покрыто конечным множеством интерваловс суммарной длиной меньше ).[22]
- Критерий Лебега. Функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру Лебега(то есть для любого может быть покрыто счётным семейством интервалов с суммарной длиной меньше ).[23]
Достаточные условия интегрируемости
Все перечисленные далее достаточные условия интегрируемости практически сразу следуют из критерия Лебега.
- Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём[24]
- Ограниченная на отрезке функция, разрывная в конечном числе его точек, интегрируема на этом отрезке[25]
- Монотонная на отрезке функция, интегрируема на нём[26]
- Произведение интегрируемой функции на число интегрируемо[27]
- Сумма интегрируемых функций интегрируема[27]
- Произведение интегрируемых функций интегрируемо[28]
- Если отношение двух интегрируемых функций ограничено, то оно интегрируемо. Частный случай — если множество значений знаменателя не имеет предельной точкой.[14]
- Модуль интегрируемой функции интегрируем.[29]
- Композиция функций , где — непрерывна на отрезке , а — интегрируема на , интегрируема на .[30]
- Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она интегрируема на любом из его подотрезков.[31]
- Пусть и функция интегрируема на и . Тогда она интегрируема на .[32]
Свойства
Дальнейшие свойства выполняются только если соответствующие интегралы существуют.
- Необходимое условие интегрируемости. Интегрируемая на отрезке функция ограничена на нём.[33]
- Неотрицательность. Для неотрицательной на отрезке функции,
- Положительность. Для неотрицательной и непрерывной на отрезке функции, , которая хотя бы в одной точке отлична от нуля
- Линейность.
- Для существования всех этих трёх интегралов достаточно существования двух из них.
- Для любого
- Из существования правого интеграла следует существование левого. Если , то из существования левого следует существование правого.
- Аддитивность. Для произвольных чисел
- Для существования всех этих трёх интегралов достаточно либо существования интеграла по большему отрезку, либо по двум меньшим.
- Монотонность. Пусть и на . Тогда
- Оценка. Пусть , , . Тогда
- Оценка модуля. Пусть .
- Для существования этих двух интегралов достаточно существования левого интеграла.
- Существует вариация этого свойства на случай произвольных и .
- Теорема о среднем. Для лучшего понимания сначала сформулируем теорему о среднем в несколько упрощённой формулировке.
- Средним значением функции на отрезке называется .
- Теорема о среднем гласит: непрерывная на отрезке функция в некоторой точке этого отрезка принимает своё среднее значение.
- Можно записать это условие без деления на , чтобы покрыть случай, когда .
- В такой записи теорема о среднем верна для любых значений и .
- На деле же верно куда более общее условие. Пусть интегрируема на , , . Тогда
- Эту теорему также иногда называют интегральной теоремой о среднем для отличия от следующей.[38]
- Обобщённая теорема о среднем. Пусть функция интегрируема на отрезке , , , а функция интегрируема и знакопостоянна. Тогда
- Теорема вновь верна для любых и .
- Для этой теоремы можно также привести вариацию в случае непрерывности .[40]
- Иногда теоремой о среднем называют именно эту теорему, а не предыдущую. Также, для отличия от последующей, эту теорему называют первой теоремой о среднем.[41]
- Вторая теорема о среднем. Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция монотонна. Тогда
- У второй теоремы о среднем есть вариации для неотрицательных функций . Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция неотрицательна и не возрастает. Тогда
- Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция неотрицательна и не убывает. Тогда
- Независимость от множеств меры нуль. Если две функции интегрируемы на отрезке и равны на нём почти всюду, то их интегралы также равны. Таким образом, значение интеграла Римана не зависит от значения функции на множестве меры нуль. Однако его существование зависит: к примеру ноль и функция Дирихле равны почти всюду, однако интеграл от первой функции существует, а от второй нет.
Интеграл с верхним переменным пределом
Функция , определяемая при помощи интеграла следующим образом
называется интегралом с верхним переменным пределом.[38]
Свойства:
- Область определения есть промежуток, в который входит точка
- Интеграл с верхним переменным пределом непрерывен.[38]
- Более того, интеграл с верхним переменном пределом является Липшицевой функцией
- В точках , в которых непрерывна, интеграл с верхним переменным пределом дифференцируем и значение его производной равно .[44]
Последнее свойство позволяет с помощью интеграла с верхним переменным пределом записать первообразную функции. Таким образом, оно связывает неопределённый интеграл и определённый следующим соотношением:
Это равенство также верно в случае если интегрируема и имеет первообразную на .[45]
Вычисление
Для вычисления интегралов Римана в простейших случаях используется формула Ньютона-Лейбница, которая является следствием свойств интеграла с верхним переменным пределом.
При практическом вычислении также используют следующие приёмы:
- Замена переменной. Пусть требуется вычислить интеграл
- Выполняется замена , после чего пересчитываются пределы интегрирования и дифференциал:
- Тогда
- Для того, чтобы такая замена была законной, требуется непрерывность и непрерывная дифференцируемость и строгая монотонность .[47]
- Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям состоит в применении следующей формулы:
- Формула законна, если и непрерывно-дифференцируемы.[48]
На самом деле многие из указанных условий для формулы Ньютона-Лейбница и перечисленных двух приёмах избыточны и их можно существенно ослабить.[49][48][50] Однако такие условия будут более сложными, к тому же, для большинства практически встречающихся случаев указанных условий достаточно. Более того, в приведёном виде эти условия также гарантируют существование всех интегралов, что позволяет ограничиться одной лишь проверкой этих простых условий перед применением соответствующих методов.
- Интегрирование нечётной функции. Пусть нечётная интегрируемая на отрезке функция. Тогда
- Интегрирование чётной функции. Пусть чётная интегрируемая на отрезке функция. Тогда
- Интегрирование периодической функции. Пусть имеет период и интегрируема на . Тогда она интегрируема на любом отрезке и для любого
История
Приведенное выше определение интеграла дано Коши[52], оно применялось только для непрерывных функций.
Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году[2], на русском языке впервые в 1914 году[53][54]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).
Вариации и обобщения
- Интеграл Римана от частично заданных функций. Иногда имеет смысл определить интеграл Римана для функций, частично заданных на отрезке . Он определяется, если при любом достроении функции до полностью заданной её интеграл равен одному и тому же значению. В этом случае это значение считается интегралом Римана от частично заданной функции. К примеру: можно рассматривать функции, не определённые в конечном числе точек. Если при этом во всех остальных точках они непрерывны почти всюду, то любое достроение до полностью заданной функции интегрируемо, и их значения равны, так как значение интеграла не зависит от значения на множестве меры нуль. Для таких функций даже существует обобщение формулы Ньютона-Лейбница.[55] Однако уже даже для счётного множества это выполняется не всегда. Возьмём функцию , заданную только на множестве иррациональных чисел. Её можно разными путями доопределить до и до функции Дирихле. В одном случая она интегрируема, в другом нет. С другой стороны, если рассмотреть , неопределённый на множестве Кантора, то любое достроение такой функции будет интегрируемо.
- Интеграл Римана от векторнозначных функций. Интеграл Римана можно определить для функций, со значениями в любом топологическом векторном пространстве над . К примеру можно рассмотреть интеграл от вектор-функций (функции из со значениями в евклидовом пространстве). Такие функции интегрируются покоординатно, из-за чего практически все свойства переносятся и на них тоже.[56]
- Несобственный интеграл Римана. Иногда возникает потребность в рассмотрении интеграла на бесконечном промежутке или от неограниченной функции. Несобственный интеграл это обобщение интеграла Римана на такие случаи. Для бесконечных промежутков несобственный интеграл определяется так:
- Для конечных промежутков с неограниченной функцией в окрестности верхнего предела определяется так:
- Остальные случаи определяются аналогично. Если встречаются бесконечные точки разрыва внутри промежутка или оба предела бесконечны, то интеграл по аддитивности разбивается на несколько.
- Ключевая особенность такого определения в том, что для интегрируемых функций такие пределы совпадают с обычными (называемыми собственными для отличия от несобственных) интегралами. Таким образом, несобственный интеграл Римана представляет собой именно обобщение собственного.
- Кратный интеграл Римана. Кратный интеграл берётся от функций многих переменных по некоторому подмножеству . Рассматриваются разбиения этих множеств на измеримые по Жордану подмножества. В них отмечаются точки и составляются интегральные суммы (вместо длин интервалов берутся меры Жордана соответствующих подмножеств). Диаметром подмножества такого разбиения считается супремум всех расстояний между точками. Диаметром самого разбиения — минимальный диаметр разбиений подмножеств. Предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю и называется кратным интегралом.
- Многие свойства кратных интегралов совпадают с обычными, но некоторые нет (к примеру, формула замены переменных). Вопреки распространённому заблуждению, точным обобщением интеграла Римана не являются, поскольку кратный интеграл берётся по неориентированному множеству, а обычный требует задания направления у отрезка.
- Криволинейный интеграл. Аналогично кратному интегралу, берётся от функции нескольких переменных, однако уже по кривой. Кривая также разбивается на подкривые, значения функции умножаются на длины соответствующих подкривых и суммируются между собой.
- Поверхностный интеграл. Практически аналогично криволинейному интегралу, с тем отличием, что берётся по поверхности, и значения функций в отмеченных точках умножаются на площади соответствующих участков.
- Интеграл Лебега. Альтернативный подход к определению интеграла. Здесь вместо разбиения области определения интегрируемой функции разбивается область значений, после чего точки разбиения умножаются на меры прообразов этих сегментов и суммируются между собой. Такие суммы при увеличении верхней точки разбиения, уменьшения нижней и стремлении его диаметра к нулю стремятся к интегралу Лебега.
См. также
- интеграл Даниэля, интеграл Юнга
- Интеграл Стилтьеса
- Кратный интеграл Римана
- Несобственный интеграл
Примечания
- ↑ Фихтенгольц, 2003, с. 107.
- ↑ 1 2 Риман (статья), 1868, с. 101-103.
- ↑ Фихтенгольц, 2003, с. 104.
- ↑ Архипов, 1999, с. 218.
- ↑ Архипов, 1999, с. 190.
- ↑ Архипов, 1999, с. 204-205.
- ↑ Архипов, 1999, с. 208.
- ↑ Ильин, 1985, с. 337.
- ↑ Архипов, 1999, с. 189.
- ↑ Ильин, 1985, с. 338.
- ↑ Архипов, 1999, с. 186-188.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 539.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 553.
- ↑ 1 2 3 Кудрявцев, 2003, с. 556.
- ↑ Архипов, 1999, с. 224.
- ↑ Архипов, 1999, с. 181.
- ↑ Архипов, 1999, с. 180.
- ↑ Архипов, 1999, с. 185.
- ↑ Архипов, 1999, с. 205.
- ↑ Архипов, 1999, с. 186.
- ↑ Архипов, 1999, с. 187.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 563.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 567.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 548.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 549.
- ↑ Архипов, 1999, с. 198.
- ↑ 1 2 3 4 Кудрявцев, 2003, с. 573.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 574.
- ↑ 1 2 Кудрявцев, 2003, с. 578.
- ↑ Архипов, 1999, с. 203.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 571.
- ↑ 1 2 Кудрявцев, 2003, с. 572.
- ↑ Архипов, 1999, с. 179.
- ↑ 1 2 Кудрявцев, 2003, с. 576.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 577.
- ↑ 1 2 Фихтенгольц, 2003, с. 125.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 579.
- ↑ 1 2 3 Кудрявцев, 2003, с. 587.
- ↑ Фихтенгольц, 2003, с. 126.
- ↑ Фихтенгольц, 2003, с. 127.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 583.
- ↑ Фихтенгольц, 2003, с. 132.
- ↑ 1 2 Архипов, 1999, с. 215.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 588.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 590.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 591.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 596.
- ↑ 1 2 Кудрявцев, 2003, с. 600.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 593.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 601.
- ↑ 1 2 3 Виленкин, 1979, с. 72.
- ↑ Коши, 1831.
- ↑ Риман (книга), 1914.
- ↑ Архипов, 1999, с. 196.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 595.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 607.
Литература
- Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 8-е. — М.: Наука, 2003. — Т. 2. — 864 с.
- Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 1-е изд. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.. — М.: Дрофа, 2003. — 704 с.
- Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. — М.: Просвящение, 1979. — 176 с.
- Cauchy A. L. Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Turin, 1831.
- Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
- Риман Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липшиц; Пер. Г. А. Грузинцева и С. Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).
Ссылки
- Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
- Строгое определение интеграла Римана.
Для улучшения этой статьи желательно:
|