Квадратура (математика)

Квадрату́ра (лат. quadratura, придание квадратной формы) — математический термин, первоначально обозначавший нахождение площади какой-либо фигуры или поверхности. В дальнейшем смысл термина постепенно менялся^[1]. Задачи квадратуры послужили одним из главных источников возникновения в конце XVII века математического анализа.

В античные времена под проведением квадратуры понималось построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого заданной фигуре (то есть имеющего такую же площадь). Примеры: квадратура круга или гиппократовы луночки. В качестве основного метода анализа тогда был принят метод исчерпывания Евдокса.

В средневековой Европе под проведением квадратуры понималось вычисление площади заданной области — например, площади арки циклоиды. Для этого чаще всего использовался метод неделимых.

С появлением

• «
  квадратурные формулы
  » — формулы для оценки значения определённого интеграла;
• «привести к квадратурам» («выразить в квадратурах», «решить в квадратурах») — выразить решение дифференциального уравнения в виде интеграла от комбинаций элементарных функций, т.е. в виде ${\displaystyle y=\int f(x)\ dx}$, где ${\displaystyle f(x)}$ является элементарной функцией или конечной их комбинацией.

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b надо построить квадрат со стороной ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$ (

Гораздо сложнее оказались задачи квадратуры криволинейных фигур. Квадратура круга, как окончательно было доказано в XIX веке (см. доказательство), с помощью циркуля и линейки невозможна. Однако для некоторых фигур (например, для гиппократовых луночек) квадратуру всё же удалось провести. Высшим достижением античного анализа стали проведенные Архимедом квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы:

• площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;
• площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Для доказательства Архимед использовал восходящий к Евдоксу «метод исчерпывания». Надо отметить, что результат Архимеда для поверхности сферы уже выходит за пределы пифагорейского определения, так как не сводится к явному построению квадрата.

В XVII веке появился «

• Квадратриса
• Квадратура круга
• Численное интегрирование
• Список квадратурных формул

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции //
  Физматгиз
  , 1958. — № 11. — С. 225—440.
• Бурбаки Н.
  Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

• Бендукидзе А. Д. Архимед и квадратура параболы. Квант, 1971, № 7, стр. 7-10.